Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26724 / 47061
↖ ↑ ↗
← S 61.493871°
W 33.200683°		 ← 291.50 m → S 61.493871°
W 33.195190°		 →
↑
291.47 m
↓
↑
291.47 m
↓
S 61.496492°
W 33.200683°		 ← 291.48 m →
84 961 m²		 S 61.496492°
W 33.195190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407783508300781 y=0.718101501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407783508300781 × 216)
    floor (0.407783508300781 × 65536)
    floor (26724.5)     		tx = 26724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718101501464844 × 216)
    floor (0.718101501464844 × 65536)
    floor (47061.5)     		ty = 47061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26724 / 47061 ti = "16/26724/47061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26724/47061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26724 ÷ 216
    26724 ÷ 65536     		x = 0.40777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47061 ÷ 216
    47061 ÷ 65536     		y = 0.718093872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57946124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718093872070312 × 2 - 1) × π
    -0.436187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37032421253893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57946124} λ = -0.57946124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37032421253893))-π/2
    2×atan(0.254024588243912)-π/2
    2×0.248762909267442-π/2
    0.497525818534885-1.57079632675     		φ = -1.07327051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57946124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.200683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07327051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.493871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26724 KachelY 47061 -0.57946124 -1.07327051 -33.200683 -61.493871
    Oben rechts KachelX + 1 26725 KachelY 47061 -0.57936537 -1.07327051 -33.195190 -61.493871
    Unten links KachelX 26724 KachelY + 1 47062 -0.57946124 -1.07331626 -33.200683 -61.496492
    Unten rechts KachelX + 1 26725 KachelY + 1 47062 -0.57936537 -1.07331626 -33.195190 -61.496492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07327051--1.07331626) × R
    4.57499999999555e-05 × 6371000     		dl = 291.473249999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07327051--1.07331626) × R
    4.57499999999555e-05 × 6371000     		dr = 291.473249999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57946124--0.57936537) × cos(-1.07327051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477252773363028 × 6371000     		do = 291.500157168713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57946124--0.57936537) × cos(-1.07331626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477212569316282 × 6371000     		du = 291.475601028656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07327051)-sin(-1.07331626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477252773363028-0.477212569316282)×R²
    abs(-0.57936537--0.57946124)×4.02040467458176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02040467458176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02040467458176e-05×40589641000000     		ar = 84960.9194709699m²