Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26724 / 47060
↖ ↑ ↗
← S 61.491249°
W 33.200683°		 ← 291.52 m → S 61.491249°
W 33.195190°		 →
↑
291.54 m
↓
↑
291.54 m
↓
S 61.493871°
W 33.200683°		 ← 291.50 m →
84 987 m²		 S 61.493871°
W 33.195190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407783508300781 y=0.718086242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407783508300781 × 216)
    floor (0.407783508300781 × 65536)
    floor (26724.5)     		tx = 26724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718086242675781 × 216)
    floor (0.718086242675781 × 65536)
    floor (47060.5)     		ty = 47060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26724 / 47060 ti = "16/26724/47060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26724/47060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26724 ÷ 216
    26724 ÷ 65536     		x = 0.40777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47060 ÷ 216
    47060 ÷ 65536     		y = 0.71807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57946124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71807861328125 × 2 - 1) × π
    -0.4361572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37022833873969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57946124} λ = -0.57946124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37022833873969))-π/2
    2×atan(0.254048943713795)-π/2
    2×0.248785788249569-π/2
    0.497571576499137-1.57079632675     		φ = -1.07322475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57946124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.200683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07322475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.491249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26724 KachelY 47060 -0.57946124 -1.07322475 -33.200683 -61.491249
    Oben rechts KachelX + 1 26725 KachelY 47060 -0.57936537 -1.07322475 -33.195190 -61.491249
    Unten links KachelX 26724 KachelY + 1 47061 -0.57946124 -1.07327051 -33.200683 -61.493871
    Unten rechts KachelX + 1 26725 KachelY + 1 47061 -0.57936537 -1.07327051 -33.195190 -61.493871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07322475--1.07327051) × R
    4.57599999998948e-05 × 6371000     		dl = 291.53695999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07322475--1.07327051) × R
    4.57599999998948e-05 × 6371000     		dr = 291.53695999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57946124--0.57936537) × cos(-1.07322475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477292985198296 × 6371000     		do = 291.524718065904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57946124--0.57936537) × cos(-1.07327051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477252773363028 × 6371000     		du = 291.500157168713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07322475)-sin(-1.07327051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477292985198296-0.477252773363028)×R²
    abs(-0.57936537--0.57946124)×4.02118352680891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02118352680891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02118352680891e-05×40589641000000     		ar = 84986.6498800151m²