Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26724 / 47059
↖ ↑ ↗
← S 61.488627°
W 33.200683°		 ← 291.55 m → S 61.488627°
W 33.195190°		 →
↑
291.54 m
↓
↑
291.54 m
↓
S 61.491249°
W 33.200683°		 ← 291.52 m →
84 994 m²		 S 61.491249°
W 33.195190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407783508300781 y=0.718070983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407783508300781 × 216)
    floor (0.407783508300781 × 65536)
    floor (26724.5)     		tx = 26724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718070983886719 × 216)
    floor (0.718070983886719 × 65536)
    floor (47059.5)     		ty = 47059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26724 / 47059 ti = "16/26724/47059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26724/47059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26724 ÷ 216
    26724 ÷ 65536     		x = 0.40777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47059 ÷ 216
    47059 ÷ 65536     		y = 0.718063354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57946124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718063354492188 × 2 - 1) × π
    -0.436126708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37013246494044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57946124} λ = -0.57946124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37013246494044))-π/2
    2×atan(0.25407330151884)-π/2
    2×0.248808669159297-π/2
    0.497617338318594-1.57079632675     		φ = -1.07317899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57946124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.200683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07317899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.488627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26724 KachelY 47059 -0.57946124 -1.07317899 -33.200683 -61.488627
    Oben rechts KachelX + 1 26725 KachelY 47059 -0.57936537 -1.07317899 -33.195190 -61.488627
    Unten links KachelX 26724 KachelY + 1 47060 -0.57946124 -1.07322475 -33.200683 -61.491249
    Unten rechts KachelX + 1 26725 KachelY + 1 47060 -0.57936537 -1.07322475 -33.195190 -61.491249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07317899--1.07322475) × R
    4.57600000001168e-05 × 6371000     		dl = 291.536960000744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07317899--1.07322475) × R
    4.57600000001168e-05 × 6371000     		dr = 291.536960000744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57946124--0.57936537) × cos(-1.07317899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477333196034123 × 6371000     		do = 291.549278352649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57946124--0.57936537) × cos(-1.07322475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477292985198296 × 6371000     		du = 291.524718065904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07317899)-sin(-1.07322475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477333196034123-0.477292985198296)×R²
    abs(-0.57936537--0.57946124)×4.02108358274478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02108358274478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02108358274478e-05×40589641000000     		ar = 84993.810200519m²