Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2672 / 1648
↖ ↑ ↗
← N 80.703997°
W121.289063°		 ← 394.67 m → N 80.703997°
W121.267090°		 →
↑
394.75 m
↓
↑
394.75 m
↓
N 80.700447°
W121.289063°		 ← 394.82 m →
155 826 m²		 N 80.700447°
W121.267090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163116455078125 y=0.100616455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163116455078125 × 214)
    floor (0.163116455078125 × 16384)
    floor (2672.5)     		tx = 2672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100616455078125 × 214)
    floor (0.100616455078125 × 16384)
    floor (1648.5)     		ty = 1648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2672 / 1648 ti = "14/2672/1648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2672/1648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2672 ÷ 214
    2672 ÷ 16384     		x = 0.1630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1648 ÷ 214
    1648 ÷ 16384     		y = 0.1005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    -0.673828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11689349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1005859375 × 2 - 1) × π
    0.798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50959256890918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11689349} λ = -2.11689349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50959256890918))-π/2
    2×atan(12.2999176706045)-π/2
    2×1.48967339408107-π/2
    2.97934678816213-1.57079632675     		φ = 1.40855046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11689349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.289063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40855046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.703997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2672 KachelY 1648 -2.11689349 1.40855046 -121.289063 80.703997
    Oben rechts KachelX + 1 2673 KachelY 1648 -2.11650999 1.40855046 -121.267090 80.703997
    Unten links KachelX 2672 KachelY + 1 1649 -2.11689349 1.40848850 -121.289063 80.700447
    Unten rechts KachelX + 1 2673 KachelY + 1 1649 -2.11650999 1.40848850 -121.267090 80.700447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40855046-1.40848850) × R
    6.19600000000275e-05 × 6371000     		dl = 394.747160000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40855046-1.40848850) × R
    6.19600000000275e-05 × 6371000     		dr = 394.747160000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11689349--2.11650999) × cos(1.40855046) × R
    0.00038349999999987 × 0.161534983931327 × 6371000     		do = 394.674953237123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11689349--2.11650999) × cos(1.40848850) × R
    0.00038349999999987 × 0.161596129899699 × 6371000     		du = 394.824349867008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40855046)-sin(1.40848850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161534983931327-0.161596129899699)×R²
    abs(-2.11650999--2.11689349)×6.11459683722559e-05×R²
    0.00038349999999987×6.11459683722559e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.11459683722559e-05×40589641000000     		ar = 155826.303910244m²