Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2672 / 1517
↖ ↑ ↗
← N 81.157619°
W121.289063°		 ← 375.57 m → N 81.157619°
W121.267090°		 →
↑
375.63 m
↓
↑
375.63 m
↓
N 81.154241°
W121.289063°		 ← 375.72 m →
141 105 m²		 N 81.154241°
W121.267090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163116455078125 y=0.092620849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163116455078125 × 214)
    floor (0.163116455078125 × 16384)
    floor (2672.5)     		tx = 2672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092620849609375 × 214)
    floor (0.092620849609375 × 16384)
    floor (1517.5)     		ty = 1517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2672 / 1517 ti = "14/2672/1517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2672/1517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2672 ÷ 214
    2672 ÷ 16384     		x = 0.1630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1517 ÷ 214
    1517 ÷ 16384     		y = 0.09259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    -0.673828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11689349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09259033203125 × 2 - 1) × π
    0.8148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.559830439711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11689349} λ = -2.11689349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.559830439711))-π/2
    2×atan(12.9336241005669)-π/2
    2×1.49363199713754-π/2
    2.98726399427508-1.57079632675     		φ = 1.41646767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11689349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.289063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41646767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.157619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2672 KachelY 1517 -2.11689349 1.41646767 -121.289063 81.157619
    Oben rechts KachelX + 1 2673 KachelY 1517 -2.11650999 1.41646767 -121.267090 81.157619
    Unten links KachelX 2672 KachelY + 1 1518 -2.11689349 1.41640871 -121.289063 81.154241
    Unten rechts KachelX + 1 2673 KachelY + 1 1518 -2.11650999 1.41640871 -121.267090 81.154241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41646767-1.41640871) × R
    5.89600000000523e-05 × 6371000     		dl = 375.634160000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41646767-1.41640871) × R
    5.89600000000523e-05 × 6371000     		dr = 375.634160000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11689349--2.11650999) × cos(1.41646767) × R
    0.00038349999999987 × 0.153716769723534 × 6371000     		do = 375.572878554834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11689349--2.11650999) × cos(1.41640871) × R
    0.00038349999999987 × 0.153775028713779 × 6371000     		du = 375.715221493133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41646767)-sin(1.41640871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153716769723534-0.153775028713779)×R²
    abs(-2.11650999--2.11689349)×5.8258990245641e-05×R²
    0.00038349999999987×5.8258990245641e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.8258990245641e-05×40589641000000     		ar = 141104.737229696m²