Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2671 / 1516
↖ ↑ ↗
← N 81.160996°
W121.311035°		 ← 375.42 m → N 81.160996°
W121.289063°		 →
↑
375.51 m
↓
↑
375.51 m
↓
N 81.157619°
W121.311035°		 ← 375.56 m →
141 000 m²		 N 81.157619°
W121.289063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163055419921875 y=0.092559814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163055419921875 × 214)
    floor (0.163055419921875 × 16384)
    floor (2671.5)     		tx = 2671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092559814453125 × 214)
    floor (0.092559814453125 × 16384)
    floor (1516.5)     		ty = 1516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2671 / 1516 ti = "14/2671/1516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2671/1516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2671 ÷ 214
    2671 ÷ 16384     		x = 0.16302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1516 ÷ 214
    1516 ÷ 16384     		y = 0.092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.6739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11727698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092529296875 × 2 - 1) × π
    0.81494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56021393490796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11727698} λ = -2.11727698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56021393490796))-π/2
    2×atan(12.9385850344751)-π/2
    2×1.49366146637559-π/2
    2.98732293275119-1.57079632675     		φ = 1.41652661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11727698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.311035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41652661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.160996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2671 KachelY 1516 -2.11727698 1.41652661 -121.311035 81.160996
    Oben rechts KachelX + 1 2672 KachelY 1516 -2.11689349 1.41652661 -121.289063 81.160996
    Unten links KachelX 2671 KachelY + 1 1517 -2.11727698 1.41646767 -121.311035 81.157619
    Unten rechts KachelX + 1 2672 KachelY + 1 1517 -2.11689349 1.41646767 -121.289063 81.157619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41652661-1.41646767) × R
    5.89399999999518e-05 × 6371000     		dl = 375.506739999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41652661-1.41646767) × R
    5.89399999999518e-05 × 6371000     		dr = 375.506739999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11727698--2.11689349) × cos(1.41652661) × R
    0.000383490000000375 × 0.153658529961406 × 6371000     		do = 375.420793011731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11727698--2.11689349) × cos(1.41646767) × R
    0.000383490000000375 × 0.153716769723534 × 6371000     		du = 375.563085259929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41652661)-sin(1.41646767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153658529961406-0.153716769723534)×R²
    abs(-2.11689349--2.11727698)×5.82397621280983e-05×R²
    0.000383490000000375×5.82397621280983e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.82397621280983e-05×40589641000000     		ar = 140999.75400229m²