Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2671 / 1515
↖ ↑ ↗
← N 81.164372°
W121.311035°		 ← 375.28 m → N 81.164372°
W121.289063°		 →
↑
375.32 m
↓
↑
375.32 m
↓
N 81.160996°
W121.311035°		 ← 375.42 m →
140 875 m²		 N 81.160996°
W121.289063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163055419921875 y=0.092498779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163055419921875 × 214)
    floor (0.163055419921875 × 16384)
    floor (2671.5)     		tx = 2671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092498779296875 × 214)
    floor (0.092498779296875 × 16384)
    floor (1515.5)     		ty = 1515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2671 / 1515 ti = "14/2671/1515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2671/1515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2671 ÷ 214
    2671 ÷ 16384     		x = 0.16302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1515 ÷ 214
    1515 ÷ 16384     		y = 0.09246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.6739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11727698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09246826171875 × 2 - 1) × π
    0.8150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56059743010492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11727698} λ = -2.11727698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56059743010492))-π/2
    2×atan(12.9435478712425)-π/2
    2×1.49369092444866-π/2
    2.98738184889733-1.57079632675     		φ = 1.41658552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11727698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.311035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41658552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.164372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2671 KachelY 1515 -2.11727698 1.41658552 -121.311035 81.164372
    Oben rechts KachelX + 1 2672 KachelY 1515 -2.11689349 1.41658552 -121.289063 81.164372
    Unten links KachelX 2671 KachelY + 1 1516 -2.11727698 1.41652661 -121.311035 81.160996
    Unten rechts KachelX + 1 2672 KachelY + 1 1516 -2.11689349 1.41652661 -121.289063 81.160996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41658552-1.41652661) × R
    5.89099999999121e-05 × 6371000     		dl = 375.31560999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41658552-1.41652661) × R
    5.89099999999121e-05 × 6371000     		dr = 375.31560999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11727698--2.11689349) × cos(1.41658552) × R
    0.000383490000000375 × 0.153600319309471 × 6371000     		do = 375.27857188599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11727698--2.11689349) × cos(1.41652661) × R
    0.000383490000000375 × 0.153658529961406 × 6371000     		du = 375.420793011731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41658552)-sin(1.41652661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153600319309471-0.153658529961406)×R²
    abs(-2.11689349--2.11727698)×5.82106519342318e-05×R²
    0.000383490000000375×5.82106519342318e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.82106519342318e-05×40589641000000     		ar = 140874.59507246m²