Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2670 / 3926
↖ ↑ ↗
← N 67.958148°
W121.333008°		 ← 916.92 m → N 67.958148°
W121.311035°		 →
↑
917.04 m
↓
↑
917.04 m
↓
N 67.949900°
W121.333008°		 ← 917.25 m →
841 006 m²		 N 67.949900°
W121.311035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162994384765625 y=0.239654541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162994384765625 × 214)
    floor (0.162994384765625 × 16384)
    floor (2670.5)     		tx = 2670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239654541015625 × 214)
    floor (0.239654541015625 × 16384)
    floor (3926.5)     		ty = 3926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2670 / 3926 ti = "14/2670/3926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2670/3926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2670 ÷ 214
    2670 ÷ 16384     		x = 0.1629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3926 ÷ 214
    3926 ÷ 16384     		y = 0.2396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11766048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2396240234375 × 2 - 1) × π
    0.520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.63599051023328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11766048} λ = -2.11766048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63599051023328))-π/2
    2×atan(5.13454129477799)-π/2
    2×1.37844488025461-π/2
    2.75688976050922-1.57079632675     		φ = 1.18609343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11766048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18609343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.958148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2670 KachelY 3926 -2.11766048 1.18609343 -121.333008 67.958148
    Oben rechts KachelX + 1 2671 KachelY 3926 -2.11727698 1.18609343 -121.311035 67.958148
    Unten links KachelX 2670 KachelY + 1 3927 -2.11766048 1.18594949 -121.333008 67.949900
    Unten rechts KachelX + 1 2671 KachelY + 1 3927 -2.11727698 1.18594949 -121.311035 67.949900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18609343-1.18594949) × R
    0.000143939999999843 × 6371000     		dl = 917.041739998997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18609343-1.18594949) × R
    0.000143939999999843 × 6371000     		dr = 917.041739998997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11766048--2.11727698) × cos(1.18609343) × R
    0.00038349999999987 × 0.375283765391359 × 6371000     		do = 916.92275537944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11766048--2.11727698) × cos(1.18594949) × R
    0.00038349999999987 × 0.375417180924508 × 6371000     		du = 917.248726683151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18609343)-sin(1.18594949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375283765391359-0.375417180924508)×R²
    abs(-2.11727698--2.11766048)×0.00013341553314955×R²
    0.00038349999999987×0.00013341553314955×6371000²
    0.00038349999999987×0.00013341553314955×40589641000000     		ar = 841005.905137021m²