Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 267 / 812
↖ ↑ ↗
← N 34.885931°
W133.066406°		 ← 16.033 km → N 34.885931°
W132.890625°		 →
↑
16.047 km
↓
↑
16.047 km
↓
N 34.741613°
W133.066406°		 ← 16.062 km →
257.521 km²		 N 34.741613°
W132.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130615234375 y=0.396728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130615234375 × 211)
    floor (0.130615234375 × 2048)
    floor (267.5)     		tx = 267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396728515625 × 211)
    floor (0.396728515625 × 2048)
    floor (812.5)     		ty = 812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 267 / 812 ti = "11/267/812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/267/812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 267 ÷ 211
    267 ÷ 2048     		x = 0.13037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 812 ÷ 211
    812 ÷ 2048     		y = 0.396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32244691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396484375 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32244691} λ = -2.32244691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650407854044922))-π/2
    2×atan(1.91632224943113)-π/2
    2×1.08983534215958-π/2
    2.17967068431915-1.57079632675     		φ = 0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32244691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 267 KachelY 812 -2.32244691 0.60887436 -133.066406 34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 268 KachelY 812 -2.31937895 0.60887436 -132.890625 34.885931
    Unten links KachelX 267 KachelY + 1 813 -2.32244691 0.60635553 -133.066406 34.741613
    Unten rechts KachelX + 1 268 KachelY + 1 813 -2.31937895 0.60635553 -132.890625 34.741613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60887436-0.60635553) × R
    0.00251882999999997 × 6371000     		dl = 16047.4659299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60887436-0.60635553) × R
    0.00251882999999997 × 6371000     		dr = 16047.4659299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32244691--2.31937895) × cos(0.60887436) × R
    0.00306796000000009 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 16033.4120798231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32244691--2.31937895) × cos(0.60635553) × R
    0.00306796000000009 × 0.821730368153368 × 6371000     		du = 16061.5197206831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60887436)-sin(0.60635553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.821730368153368)×R²
    abs(-2.31937895--2.32244691)×0.00143802719004815×R²
    0.00306796000000009×0.00143802719004815×6371000²
    0.00306796000000009×0.00143802719004815×40589641000000     		ar = 257521298.450921m²