Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 267 / 773
↖ ↑ ↗
← N 40.313043°
W133.066406°		 ← 14.904 km → N 40.313043°
W132.890625°		 →
↑
14.919 km
↓
↑
14.919 km
↓
N 40.178873°
W133.066406°		 ← 14.934 km →
222.577 km²		 N 40.178873°
W132.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130615234375 y=0.377685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130615234375 × 211)
    floor (0.130615234375 × 2048)
    floor (267.5)     		tx = 267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377685546875 × 211)
    floor (0.377685546875 × 2048)
    floor (773.5)     		ty = 773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 267 / 773 ti = "11/267/773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/267/773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 267 ÷ 211
    267 ÷ 2048     		x = 0.13037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 773 ÷ 211
    773 ÷ 2048     		y = 0.37744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32244691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37744140625 × 2 - 1) × π
    0.2451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.770058355496582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32244691} λ = -2.32244691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.770058355496582))-π/2
    2×atan(2.15989229169462)-π/2
    2×1.13719583113591-π/2
    2.27439166227183-1.57079632675     		φ = 0.70359534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32244691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70359534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.313043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 267 KachelY 773 -2.32244691 0.70359534 -133.066406 40.313043
    Oben rechts KachelX + 1 268 KachelY 773 -2.31937895 0.70359534 -132.890625 40.313043
    Unten links KachelX 267 KachelY + 1 774 -2.32244691 0.70125363 -133.066406 40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 268 KachelY + 1 774 -2.31937895 0.70125363 -132.890625 40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70359534-0.70125363) × R
    0.00234171000000005 × 6371000     		dl = 14919.0344100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70359534-0.70125363) × R
    0.00234171000000005 × 6371000     		dr = 14919.0344100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32244691--2.31937895) × cos(0.70359534) × R
    0.00306796000000009 × 0.7625210673055 × 6371000     		do = 14904.2163154883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32244691--2.31937895) × cos(0.70125363) × R
    0.00306796000000009 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 14933.787585652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70359534)-sin(0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7625210673055-0.764033975868385)×R²
    abs(-2.31937895--2.32244691)×0.00151290856288444×R²
    0.00306796000000009×0.00151290856288444×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151290856288444×40589641000000     		ar = 222577205.173904m²