Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26695 / 10985
↖ ↑ ↗
← N 50.896104°
E113.280029°		 ← 770.52 m → N 50.896104°
E113.291016°		 →
↑
770.57 m
↓
↑
770.57 m
↓
N 50.889174°
E113.280029°		 ← 770.64 m →
593 788 m²		 N 50.889174°
E113.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814682006835938 y=0.335250854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814682006835938 × 215)
    floor (0.814682006835938 × 32768)
    floor (26695.5)     		tx = 26695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335250854492188 × 215)
    floor (0.335250854492188 × 32768)
    floor (10985.5)     		ty = 10985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26695 / 10985 ti = "15/26695/10985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26695/10985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26695 ÷ 215
    26695 ÷ 32768     		x = 0.814666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10985 ÷ 215
    10985 ÷ 32768     		y = 0.335235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814666748046875 × 2 - 1) × π
    0.62933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97710949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335235595703125 × 2 - 1) × π
    0.32952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03524528419473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97710949} λ = 1.97710949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03524528419473))-π/2
    2×atan(2.81579682138158)-π/2
    2×1.22955045861889-π/2
    2.45910091723778-1.57079632675     		φ = 0.88830459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97710949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88830459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.896104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26695 KachelY 10985 1.97710949 0.88830459 113.280029 50.896104
    Oben rechts KachelX + 1 26696 KachelY 10985 1.97730124 0.88830459 113.291016 50.896104
    Unten links KachelX 26695 KachelY + 1 10986 1.97710949 0.88818364 113.280029 50.889174
    Unten rechts KachelX + 1 26696 KachelY + 1 10986 1.97730124 0.88818364 113.291016 50.889174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88830459-0.88818364) × R
    0.000120949999999898 × 6371000     		dl = 770.572449999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88830459-0.88818364) × R
    0.000120949999999898 × 6371000     		dr = 770.572449999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97710949-1.97730124) × cos(0.88830459) × R
    0.000191750000000157 × 0.630728576558529 × 6371000     		do = 770.52278522116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97710949-1.97730124) × cos(0.88818364) × R
    0.000191750000000157 × 0.630822429570585 × 6371000     		du = 770.637439744418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88830459)-sin(0.88818364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630728576558529-0.630822429570585)×R²
    abs(1.97730124-1.97710949)×9.38530120552228e-05×R²
    0.000191750000000157×9.38530120552228e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.38530120552228e-05×40589641000000     		ar = 593787.805920825m²