Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26692 / 46997
↖ ↑ ↗
← S 61.325633°
W 33.376465°		 ← 293.07 m → S 61.325633°
W 33.370972°		 →
↑
293.07 m
↓
↑
293.07 m
↓
S 61.328269°
W 33.376465°		 ← 293.05 m →
85 887 m²		 S 61.328269°
W 33.370972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407295227050781 y=0.717124938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407295227050781 × 216)
    floor (0.407295227050781 × 65536)
    floor (26692.5)     		tx = 26692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717124938964844 × 216)
    floor (0.717124938964844 × 65536)
    floor (46997.5)     		ty = 46997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26692 / 46997 ti = "16/26692/46997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26692/46997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26692 ÷ 216
    26692 ÷ 65536     		x = 0.40728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46997 ÷ 216
    46997 ÷ 65536     		y = 0.717117309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40728759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58252920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717117309570312 × 2 - 1) × π
    -0.434234619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36418828938756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58252920} λ = -0.58252920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36418828938756))-π/2
    2×atan(0.255588055347617)-π/2
    2×0.250231054935279-π/2
    0.500462109870558-1.57079632675     		φ = -1.07033422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58252920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07033422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.325633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26692 KachelY 46997 -0.58252920 -1.07033422 -33.376465 -61.325633
    Oben rechts KachelX + 1 26693 KachelY 46997 -0.58243333 -1.07033422 -33.370972 -61.325633
    Unten links KachelX 26692 KachelY + 1 46998 -0.58252920 -1.07038022 -33.376465 -61.328269
    Unten rechts KachelX + 1 26693 KachelY + 1 46998 -0.58243333 -1.07038022 -33.370972 -61.328269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07033422--1.07038022) × R
    4.60000000002125e-05 × 6371000     		dl = 293.066000001354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07033422--1.07038022) × R
    4.60000000002125e-05 × 6371000     		dr = 293.066000001354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58252920--0.58243333) × cos(-1.07033422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479831024265794 × 6371000     		do = 293.074921288114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58252920--0.58243333) × cos(-1.07038022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479790665155716 × 6371000     		du = 293.05027043727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07033422)-sin(-1.07038022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479831024265794-0.479790665155716)×R²
    abs(-0.58243333--0.58252920)×4.0359110077548e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0359110077548e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0359110077548e-05×40589641000000     		ar = 85886.682735m²