Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26692 / 25150
↖ ↑ ↗
← S 68.903097°
E113.247071°		 ← 439.70 m → S 68.903097°
E113.258056°		 →
↑
439.73 m
↓
↑
439.73 m
↓
S 68.907052°
E113.247071°		 ← 439.62 m →
193 331 m²		 S 68.907052°
E113.258056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814590454101562 y=0.767532348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814590454101562 × 215)
    floor (0.814590454101562 × 32768)
    floor (26692.5)     		tx = 26692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767532348632812 × 215)
    floor (0.767532348632812 × 32768)
    floor (25150.5)     		ty = 25150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26692 / 25150 ti = "15/26692/25150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26692/25150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26692 ÷ 215
    26692 ÷ 32768     		x = 0.8145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25150 ÷ 215
    25150 ÷ 32768     		y = 0.76751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8145751953125 × 2 - 1) × π
    0.629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97653425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.5350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68085944827765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97653425} λ = 1.97653425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68085944827765))-π/2
    2×atan(0.186213866059683)-π/2
    2×0.184105207206115-π/2
    0.368210414412229-1.57079632675     		φ = -1.20258591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97653425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.247071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20258591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.903097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26692 KachelY 25150 1.97653425 -1.20258591 113.247071 -68.903097
    Oben rechts KachelX + 1 26693 KachelY 25150 1.97672599 -1.20258591 113.258056 -68.903097
    Unten links KachelX 26692 KachelY + 1 25151 1.97653425 -1.20265493 113.247071 -68.907052
    Unten rechts KachelX + 1 26693 KachelY + 1 25151 1.97672599 -1.20265493 113.258056 -68.907052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20258591--1.20265493) × R
    6.90199999999752e-05 × 6371000     		dl = 439.726419999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20258591--1.20265493) × R
    6.90199999999752e-05 × 6371000     		dr = 439.726419999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97653425-1.97672599) × cos(-1.20258591) × R
    0.000191739999999996 × 0.359946376440095 × 6371000     		do = 439.701689170842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97653425-1.97672599) × cos(-1.20265493) × R
    0.000191739999999996 × 0.359881981786804 × 6371000     		du = 439.623026237476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20258591)-sin(-1.20265493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359946376440095-0.359881981786804)×R²
    abs(1.97672599-1.97653425)×6.43946532903894e-05×R²
    0.000191739999999996×6.43946532903894e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.43946532903894e-05×40589641000000     		ar = 193331.154638622m²