Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26692 / 10980
↖ ↑ ↗
← N 50.930738°
E113.247071°		 ← 769.91 m → N 50.930738°
E113.258056°		 →
↑
770 m
↓
↑
770 m
↓
N 50.923813°
E113.247071°		 ← 770.02 m →
592 874 m²		 N 50.923813°
E113.258056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814590454101562 y=0.335098266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814590454101562 × 215)
    floor (0.814590454101562 × 32768)
    floor (26692.5)     		tx = 26692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335098266601562 × 215)
    floor (0.335098266601562 × 32768)
    floor (10980.5)     		ty = 10980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26692 / 10980 ti = "15/26692/10980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26692/10980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26692 ÷ 215
    26692 ÷ 32768     		x = 0.8145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10980 ÷ 215
    10980 ÷ 32768     		y = 0.3350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8145751953125 × 2 - 1) × π
    0.629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97653425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3350830078125 × 2 - 1) × π
    0.329833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03620402218713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97653425} λ = 1.97653425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03620402218713))-π/2
    2×atan(2.81849772729679)-π/2
    2×1.22985269788039-π/2
    2.45970539576078-1.57079632675     		φ = 0.88890907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97653425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.247071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88890907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.930738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26692 KachelY 10980 1.97653425 0.88890907 113.247071 50.930738
    Oben rechts KachelX + 1 26693 KachelY 10980 1.97672599 0.88890907 113.258056 50.930738
    Unten links KachelX 26692 KachelY + 1 10981 1.97653425 0.88878821 113.247071 50.923813
    Unten rechts KachelX + 1 26693 KachelY + 1 10981 1.97672599 0.88878821 113.258056 50.923813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88890907-0.88878821) × R
    0.00012086 × 6371000     		dl = 769.999060000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88890907-0.88878821) × R
    0.00012086 × 6371000     		dr = 769.999060000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97653425-1.97672599) × cos(0.88890907) × R
    0.000191739999999996 × 0.630259382746591 × 6371000     		do = 769.909445818716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97653425-1.97672599) × cos(0.88878821) × R
    0.000191739999999996 × 0.630353211990905 × 6371000     		du = 770.024065328507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88890907)-sin(0.88878821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630259382746591-0.630353211990905)×R²
    abs(1.97672599-1.97653425)×9.38292443144473e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38292443144473e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38292443144473e-05×40589641000000     		ar = 592873.678744886m²