Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26691 / 25148
↖ ↑ ↗
← S 68.895187°
E113.236084°		 ← 439.88 m → S 68.895187°
E113.247071°		 →
↑
439.85 m
↓
↑
439.85 m
↓
S 68.899143°
E113.236084°		 ← 439.80 m →
193 466 m²		 S 68.899143°
E113.247071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814559936523438 y=0.767471313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814559936523438 × 215)
    floor (0.814559936523438 × 32768)
    floor (26691.5)     		tx = 26691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767471313476562 × 215)
    floor (0.767471313476562 × 32768)
    floor (25148.5)     		ty = 25148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26691 / 25148 ti = "15/26691/25148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26691/25148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26691 ÷ 215
    26691 ÷ 32768     		x = 0.814544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25148 ÷ 215
    25148 ÷ 32768     		y = 0.7674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814544677734375 × 2 - 1) × π
    0.62908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97634250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68047595308069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97634250} λ = 1.97634250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68047595308069))-π/2
    2×atan(0.186285291877778)-π/2
    2×0.184174238407356-π/2
    0.368348476814713-1.57079632675     		φ = -1.20244785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97634250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20244785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.895187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26691 KachelY 25148 1.97634250 -1.20244785 113.236084 -68.895187
    Oben rechts KachelX + 1 26692 KachelY 25148 1.97653425 -1.20244785 113.247071 -68.895187
    Unten links KachelX 26691 KachelY + 1 25149 1.97634250 -1.20251689 113.236084 -68.899143
    Unten rechts KachelX + 1 26692 KachelY + 1 25149 1.97653425 -1.20251689 113.247071 -68.899143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20244785--1.20251689) × R
    6.90400000000757e-05 × 6371000     		dl = 439.853840000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20244785--1.20251689) × R
    6.90400000000757e-05 × 6371000     		dr = 439.853840000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97634250-1.97653425) × cos(-1.20244785) × R
    0.000191750000000157 × 0.36007517926074 × 6371000     		do = 439.881971936066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97634250-1.97653425) × cos(-1.20251689) × R
    0.000191750000000157 × 0.360010769378687 × 6371000     		du = 439.803286296062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20244785)-sin(-1.20251689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36007517926074-0.360010769378687)×R²
    abs(1.97653425-1.97634250)×6.44098820530292e-05×R²
    0.000191750000000157×6.44098820530292e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.44098820530292e-05×40589641000000     		ar = 193466.469489181m²