Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26691 / 10981
↖ ↑ ↗
← N 50.923813°
E113.236084°		 ← 770.06 m → N 50.923813°
E113.247071°		 →
↑
770.13 m
↓
↑
770.13 m
↓
N 50.916887°
E113.236084°		 ← 770.18 m →
593 091 m²		 N 50.916887°
E113.247071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814559936523438 y=0.335128784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814559936523438 × 215)
    floor (0.814559936523438 × 32768)
    floor (26691.5)     		tx = 26691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335128784179688 × 215)
    floor (0.335128784179688 × 32768)
    floor (10981.5)     		ty = 10981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26691 / 10981 ti = "15/26691/10981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26691/10981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26691 ÷ 215
    26691 ÷ 32768     		x = 0.814544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10981 ÷ 215
    10981 ÷ 32768     		y = 0.335113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814544677734375 × 2 - 1) × π
    0.62908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97634250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335113525390625 × 2 - 1) × π
    0.32977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03601227458865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97634250} λ = 1.97634250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03601227458865))-π/2
    2×atan(2.817957338937)-π/2
    2×1.22979226802095-π/2
    2.4595845360419-1.57079632675     		φ = 0.88878821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97634250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88878821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.923813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26691 KachelY 10981 1.97634250 0.88878821 113.236084 50.923813
    Oben rechts KachelX + 1 26692 KachelY 10981 1.97653425 0.88878821 113.247071 50.923813
    Unten links KachelX 26691 KachelY + 1 10982 1.97634250 0.88866733 113.236084 50.916887
    Unten rechts KachelX + 1 26692 KachelY + 1 10982 1.97653425 0.88866733 113.247071 50.916887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88878821-0.88866733) × R
    0.00012087999999999 × 6371000     		dl = 770.126479999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88878821-0.88866733) × R
    0.00012087999999999 × 6371000     		dr = 770.126479999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97634250-1.97653425) × cos(0.88878821) × R
    0.000191750000000157 × 0.630353211990905 × 6371000     		do = 770.064225132291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97634250-1.97653425) × cos(0.88866733) × R
    0.000191750000000157 × 0.630447047552207 × 6371000     		du = 770.178858337024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88878821)-sin(0.88866733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630353211990905-0.630447047552207)×R²
    abs(1.97653425-1.97634250)×9.383556130238e-05×R²
    0.000191750000000157×9.383556130238e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.383556130238e-05×40589641000000     		ar = 593090.992830134m²