Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2669 / 4733
↖ ↑ ↗
← N 60.272515°
W121.354980°		 ← 1 211.53 m → N 60.272515°
W121.333008°		 →
↑
1 211.76 m
↓
↑
1 211.76 m
↓
N 60.261617°
W121.354980°		 ← 1 211.93 m →
1 468 333 m²		 N 60.261617°
W121.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162933349609375 y=0.288909912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162933349609375 × 214)
    floor (0.162933349609375 × 16384)
    floor (2669.5)     		tx = 2669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288909912109375 × 214)
    floor (0.288909912109375 × 16384)
    floor (4733.5)     		ty = 4733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2669 / 4733 ti = "14/2669/4733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2669/4733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2669 ÷ 214
    2669 ÷ 16384     		x = 0.16290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4733 ÷ 214
    4733 ÷ 16384     		y = 0.28887939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.6741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11804397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28887939453125 × 2 - 1) × π
    0.4222412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32650988628619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11804397} λ = -2.11804397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32650988628619))-π/2
    2×atan(3.76787011766615)-π/2
    2×1.31137507745613-π/2
    2.62275015491226-1.57079632675     		φ = 1.05195383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11804397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.354980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05195383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.272515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2669 KachelY 4733 -2.11804397 1.05195383 -121.354980 60.272515
    Oben rechts KachelX + 1 2670 KachelY 4733 -2.11766048 1.05195383 -121.333008 60.272515
    Unten links KachelX 2669 KachelY + 1 4734 -2.11804397 1.05176363 -121.354980 60.261617
    Unten rechts KachelX + 1 2670 KachelY + 1 4734 -2.11766048 1.05176363 -121.333008 60.261617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05195383-1.05176363) × R
    0.000190200000000029 × 6371000     		dl = 1211.76420000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05195383-1.05176363) × R
    0.000190200000000029 × 6371000     		dr = 1211.76420000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11804397--2.11766048) × cos(1.05195383) × R
    0.000383489999999931 × 0.495875301722754 × 6371000     		do = 1211.52987116453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11804397--2.11766048) × cos(1.05176363) × R
    0.000383489999999931 × 0.496040461241427 × 6371000     		du = 1211.93339134326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05195383)-sin(1.05176363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495875301722754-0.496040461241427)×R²
    abs(-2.11766048--2.11804397)×0.000165159518672797×R²
    0.000383489999999931×0.000165159518672797×6371000²
    0.000383489999999931×0.000165159518672797×40589641000000     		ar = 1468333.01518841m²