Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2669 / 3027
↖ ↑ ↗
← S 64.886265°
E 54.580078°		 ← 4 147.82 m → S 64.886265°
E 54.667969°		 →
↑
4 144.97 m
↓
↑
4 144.97 m
↓
S 64.923542°
E 54.580078°		 ← 4 142.06 m →
17 180 653 m²		 S 64.923542°
E 54.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6517333984375 y=0.7391357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6517333984375 × 212)
    floor (0.6517333984375 × 4096)
    floor (2669.5)     		tx = 2669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7391357421875 × 212)
    floor (0.7391357421875 × 4096)
    floor (3027.5)     		ty = 3027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2669 / 3027 ti = "12/2669/3027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2669/3027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2669 ÷ 212
    2669 ÷ 4096     		x = 0.651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3027 ÷ 212
    3027 ÷ 4096     		y = 0.739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651611328125 × 2 - 1) × π
    0.30322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95260207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.47802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50176719129712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95260207} λ = 0.95260207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50176719129712))-π/2
    2×atan(0.222736194679993)-π/2
    2×0.219158678050316-π/2
    0.438317356100632-1.57079632675     		φ = -1.13247897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95260207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13247897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.886265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2669 KachelY 3027 0.95260207 -1.13247897 54.580078 -64.886265
    Oben rechts KachelX + 1 2670 KachelY 3027 0.95413605 -1.13247897 54.667969 -64.886265
    Unten links KachelX 2669 KachelY + 1 3028 0.95260207 -1.13312957 54.580078 -64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 2670 KachelY + 1 3028 0.95413605 -1.13312957 54.667969 -64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13247897--1.13312957) × R
    0.000650599999999946 × 6371000     		dl = 4144.97259999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13247897--1.13312957) × R
    0.000650599999999946 × 6371000     		dr = 4144.97259999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95260207-0.95413605) × cos(-1.13247897) × R
    0.00153398000000005 × 0.424416488567418 × 6371000     		do = 4147.81664710022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95260207-0.95413605) × cos(-1.13312957) × R
    0.00153398000000005 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 4142.05853369765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13247897)-sin(-1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424416488567418-0.423827301899101)×R²
    abs(0.95413605-0.95260207)×0.000589186668316255×R²
    0.00153398000000005×0.000589186668316255×6371000²
    0.00153398000000005×0.000589186668316255×40589641000000     		ar = 17180653.3469324m²