Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2669 / 1514
↖ ↑ ↗
← N 81.167746°
W121.354980°		 ← 375.14 m → N 81.167746°
W121.333008°		 →
↑
375.25 m
↓
↑
375.25 m
↓
N 81.164372°
W121.354980°		 ← 375.28 m →
140 797 m²		 N 81.164372°
W121.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162933349609375 y=0.092437744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162933349609375 × 214)
    floor (0.162933349609375 × 16384)
    floor (2669.5)     		tx = 2669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092437744140625 × 214)
    floor (0.092437744140625 × 16384)
    floor (1514.5)     		ty = 1514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2669 / 1514 ti = "14/2669/1514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2669/1514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2669 ÷ 214
    2669 ÷ 16384     		x = 0.16290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1514 ÷ 214
    1514 ÷ 16384     		y = 0.0924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.6741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11804397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0924072265625 × 2 - 1) × π
    0.815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56098092530188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11804397} λ = -2.11804397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56098092530188))-π/2
    2×atan(12.948512611599)-π/2
    2×1.49372037136088-π/2
    2.98744074272176-1.57079632675     		φ = 1.41664442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11804397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.354980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41664442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.167746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2669 KachelY 1514 -2.11804397 1.41664442 -121.354980 81.167746
    Oben rechts KachelX + 1 2670 KachelY 1514 -2.11766048 1.41664442 -121.333008 81.167746
    Unten links KachelX 2669 KachelY + 1 1515 -2.11804397 1.41658552 -121.354980 81.164372
    Unten rechts KachelX + 1 2670 KachelY + 1 1515 -2.11766048 1.41658552 -121.333008 81.164372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41664442-1.41658552) × R
    5.88999999999729e-05 × 6371000     		dl = 375.251899999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41664442-1.41658552) × R
    5.88999999999729e-05 × 6371000     		dr = 375.251899999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11804397--2.11766048) × cos(1.41664442) × R
    0.000383489999999931 × 0.153542118005905 × 6371000     		do = 375.136373599886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11804397--2.11766048) × cos(1.41658552) × R
    0.000383489999999931 × 0.153600319309471 × 6371000     		du = 375.278571885555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41664442)-sin(1.41658552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153542118005905-0.153600319309471)×R²
    abs(-2.11766048--2.11804397)×5.82013035659579e-05×R²
    0.000383489999999931×5.82013035659579e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.82013035659579e-05×40589641000000     		ar = 140797.317081128m²