Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2669 / 1456
↖ ↑ ↗
← N 81.361287°
W121.354980°		 ← 366.98 m → N 81.361287°
W121.333008°		 →
↑
367.10 m
↓
↑
367.10 m
↓
N 81.357986°
W121.354980°		 ← 367.12 m →
134 742 m²		 N 81.357986°
W121.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162933349609375 y=0.088897705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162933349609375 × 214)
    floor (0.162933349609375 × 16384)
    floor (2669.5)     		tx = 2669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088897705078125 × 214)
    floor (0.088897705078125 × 16384)
    floor (1456.5)     		ty = 1456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2669 / 1456 ti = "14/2669/1456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2669/1456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2669 ÷ 214
    2669 ÷ 16384     		x = 0.16290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1456 ÷ 214
    1456 ÷ 16384     		y = 0.0888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.6741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11804397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888671875 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11804397} λ = -2.11804397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58322364672559))-π/2
    2×atan(13.2397497162751)-π/2
    2×1.49540933657084-π/2
    2.99081867314168-1.57079632675     		φ = 1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11804397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.354980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2669 KachelY 1456 -2.11804397 1.42002235 -121.354980 81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 2670 KachelY 1456 -2.11766048 1.42002235 -121.333008 81.361287
    Unten links KachelX 2669 KachelY + 1 1457 -2.11804397 1.41996473 -121.354980 81.357986
    Unten rechts KachelX + 1 2670 KachelY + 1 1457 -2.11766048 1.41996473 -121.333008 81.357986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42002235-1.41996473) × R
    5.76199999999805e-05 × 6371000     		dl = 367.097019999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42002235-1.41996473) × R
    5.76199999999805e-05 × 6371000     		dr = 367.097019999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11804397--2.11766048) × cos(1.42002235) × R
    0.000383489999999931 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 366.979103660784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11804397--2.11766048) × cos(1.41996473) × R
    0.000383489999999931 × 0.150260339565916 × 6371000     		du = 367.118283977802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42002235)-sin(1.41996473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.150260339565916)×R²
    abs(-2.11766048--2.11804397)×5.69660586487164e-05×R²
    0.000383489999999931×5.69660586487164e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.69660586487164e-05×40589641000000     		ar = 134742.481733203m²