Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26689 / 25145
↖ ↑ ↗
← S 68.883316°
E113.214111°		 ← 440.12 m → S 68.883316°
E113.225098°		 →
↑
440.11 m
↓
↑
440.11 m
↓
S 68.887274°
E113.214111°		 ← 440.04 m →
193 682 m²		 S 68.887274°
E113.225098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814498901367188 y=0.767379760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814498901367188 × 215)
    floor (0.814498901367188 × 32768)
    floor (26689.5)     		tx = 26689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767379760742188 × 215)
    floor (0.767379760742188 × 32768)
    floor (25145.5)     		ty = 25145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26689 / 25145 ti = "15/26689/25145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26689/25145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26689 ÷ 215
    26689 ÷ 32768     		x = 0.814483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25145 ÷ 215
    25145 ÷ 32768     		y = 0.767364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814483642578125 × 2 - 1) × π
    0.62896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97595900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.53472900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67990071028525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97595900} λ = 1.97595900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67990071028525))-π/2
    2×atan(0.186392481977038)-π/2
    2×0.184277831527485-π/2
    0.368555663054971-1.57079632675     		φ = -1.20224066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97595900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.214111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20224066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.883316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26689 KachelY 25145 1.97595900 -1.20224066 113.214111 -68.883316
    Oben rechts KachelX + 1 26690 KachelY 25145 1.97615075 -1.20224066 113.225098 -68.883316
    Unten links KachelX 26689 KachelY + 1 25146 1.97595900 -1.20230974 113.214111 -68.887274
    Unten rechts KachelX + 1 26690 KachelY + 1 25146 1.97615075 -1.20230974 113.225098 -68.887274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20224066--1.20230974) × R
    6.90800000000547e-05 × 6371000     		dl = 440.108680000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20224066--1.20230974) × R
    6.90800000000547e-05 × 6371000     		dr = 440.108680000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97595900-1.97615075) × cos(-1.20224066) × R
    0.000191749999999935 × 0.360268463907241 × 6371000     		do = 440.118096046145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97595900-1.97615075) × cos(-1.20230974) × R
    0.000191749999999935 × 0.360204021861827 × 6371000     		du = 440.039371114117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20224066)-sin(-1.20230974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360268463907241-0.360204021861827)×R²
    abs(1.97615075-1.97595900)×6.44420454144479e-05×R²
    0.000191749999999935×6.44420454144479e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.44420454144479e-05×40589641000000     		ar = 193682.470609054m²