Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26688 / 51264
↖ ↑ ↗
← S 70.728980°
W 33.398438°		 ← 201.58 m → S 70.728980°
W 33.392945°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
S 70.730792°
W 33.398438°		 ← 201.56 m →
40 633 m²		 S 70.730792°
W 33.392945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407234191894531 y=0.782234191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407234191894531 × 216)
    floor (0.407234191894531 × 65536)
    floor (26688.5)     		tx = 26688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782234191894531 × 216)
    floor (0.782234191894531 × 65536)
    floor (51264.5)     		ty = 51264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26688 / 51264 ti = "16/26688/51264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26688/51264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26688 ÷ 216
    26688 ÷ 65536     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51264 ÷ 216
    51264 ÷ 65536     		y = 0.7822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7822265625 × 2 - 1) × π
    -0.564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77328179074512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77328179074512))-π/2
    2×atan(0.169774907852465)-π/2
    2×0.168171379311371-π/2
    0.336342758622743-1.57079632675     		φ = -1.23445357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23445357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.728980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26688 KachelY 51264 -0.58291270 -1.23445357 -33.398438 -70.728980
    Oben rechts KachelX + 1 26689 KachelY 51264 -0.58281683 -1.23445357 -33.392945 -70.728980
    Unten links KachelX 26688 KachelY + 1 51265 -0.58291270 -1.23448521 -33.398438 -70.730792
    Unten rechts KachelX + 1 26689 KachelY + 1 51265 -0.58281683 -1.23448521 -33.392945 -70.730792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23445357--1.23448521) × R
    3.16400000002215e-05 × 6371000     		dl = 201.578440001411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23445357--1.23448521) × R
    3.16400000002215e-05 × 6371000     		dr = 201.578440001411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.58281683) × cos(-1.23445357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330036986468592 × 6371000     		do = 201.582554982667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.58281683) × cos(-1.23448521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330007119155836 × 6371000     		du = 201.564312393313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23445357)-sin(-1.23448521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330036986468592-0.330007119155836)×R²
    abs(-0.58281683--0.58291270)×2.98673127561155e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98673127561155e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98673127561155e-05×40589641000000     		ar = 40632.8583118565m²