Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26687 / 25151
↖ ↑ ↗
← S 68.907052°
E113.192139°		 ← 439.62 m → S 68.907052°
E113.203125°		 →
↑
439.60 m
↓
↑
439.60 m
↓
S 68.911005°
E113.192139°		 ← 439.54 m →
193 241 m²		 S 68.911005°
E113.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814437866210938 y=0.767562866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814437866210938 × 215)
    floor (0.814437866210938 × 32768)
    floor (26687.5)     		tx = 26687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767562866210938 × 215)
    floor (0.767562866210938 × 32768)
    floor (25151.5)     		ty = 25151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26687 / 25151 ti = "15/26687/25151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26687/25151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26687 ÷ 215
    26687 ÷ 32768     		x = 0.814422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25151 ÷ 215
    25151 ÷ 32768     		y = 0.767547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814422607421875 × 2 - 1) × π
    0.62884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.97557551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.53509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68105119587613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97557551} λ = 1.97557551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68105119587613))-π/2
    2×atan(0.186178163421119)-π/2
    2×0.184070700866327-π/2
    0.368141401732653-1.57079632675     		φ = -1.20265493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97557551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.192139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20265493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.907052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26687 KachelY 25151 1.97557551 -1.20265493 113.192139 -68.907052
    Oben rechts KachelX + 1 26688 KachelY 25151 1.97576725 -1.20265493 113.203125 -68.907052
    Unten links KachelX 26687 KachelY + 1 25152 1.97557551 -1.20272393 113.192139 -68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 26688 KachelY + 1 25152 1.97576725 -1.20272393 113.203125 -68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20265493--1.20272393) × R
    6.90000000000968e-05 × 6371000     		dl = 439.599000000616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20265493--1.20272393) × R
    6.90000000000968e-05 × 6371000     		dr = 439.599000000616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97557551-1.97576725) × cos(-1.20265493) × R
    0.000191739999999996 × 0.359881981786804 × 6371000     		do = 439.623026237476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97557551-1.97576725) × cos(-1.20272393) × R
    0.000191739999999996 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 439.544384005004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20265493)-sin(-1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359881981786804-0.359817604079576)×R²
    abs(1.97576725-1.97557551)×6.43777072286689e-05×R²
    0.000191739999999996×6.43777072286689e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.43777072286689e-05×40589641000000     		ar = 193240.55726438m²