Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26686 / 11390
↖ ↑ ↗
← N 48.004625°
E113.181152°		 ← 817.36 m → N 48.004625°
E113.192139°		 →
↑
817.40 m
↓
↑
817.40 m
↓
N 47.997274°
E113.181152°		 ← 817.48 m →
668 159 m²		 N 47.997274°
E113.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814407348632812 y=0.347610473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814407348632812 × 215)
    floor (0.814407348632812 × 32768)
    floor (26686.5)     		tx = 26686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347610473632812 × 215)
    floor (0.347610473632812 × 32768)
    floor (11390.5)     		ty = 11390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26686 / 11390 ti = "15/26686/11390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26686/11390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26686 ÷ 215
    26686 ÷ 32768     		x = 0.81439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11390 ÷ 215
    11390 ÷ 32768     		y = 0.34759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81439208984375 × 2 - 1) × π
    0.6287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97538376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34759521484375 × 2 - 1) × π
    0.3048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.957587506810242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97538376} λ = 1.97538376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957587506810242))-π/2
    2×atan(2.60540336755701)-π/2
    2×1.20431754479031-π/2
    2.40863508958062-1.57079632675     		φ = 0.83783876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97538376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83783876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.004625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26686 KachelY 11390 1.97538376 0.83783876 113.181152 48.004625
    Oben rechts KachelX + 1 26687 KachelY 11390 1.97557551 0.83783876 113.192139 48.004625
    Unten links KachelX 26686 KachelY + 1 11391 1.97538376 0.83771046 113.181152 47.997274
    Unten rechts KachelX + 1 26687 KachelY + 1 11391 1.97557551 0.83771046 113.192139 47.997274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83783876-0.83771046) × R
    0.00012829999999997 × 6371000     		dl = 817.39929999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83783876-0.83771046) × R
    0.00012829999999997 × 6371000     		dr = 817.39929999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97538376-1.97557551) × cos(0.83783876) × R
    0.000191750000000157 × 0.669070618240126 × 6371000     		do = 817.362928264573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97538376-1.97557551) × cos(0.83771046) × R
    0.000191750000000157 × 0.669165965143599 × 6371000     		du = 817.479407784222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83783876)-sin(0.83771046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669070618240126-0.669165965143599)×R²
    abs(1.97557551-1.97538376)×9.53469034735699e-05×R²
    0.000191750000000157×9.53469034735699e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.53469034735699e-05×40589641000000     		ar = 668159.491464417m²