Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26686 / 11389
↖ ↑ ↗
← N 48.011975°
E113.181152°		 ← 817.25 m → N 48.011975°
E113.192139°		 →
↑
817.34 m
↓
↑
817.34 m
↓
N 48.004625°
E113.181152°		 ← 817.36 m →
668 012 m²		 N 48.004625°
E113.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814407348632812 y=0.347579956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814407348632812 × 215)
    floor (0.814407348632812 × 32768)
    floor (26686.5)     		tx = 26686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347579956054688 × 215)
    floor (0.347579956054688 × 32768)
    floor (11389.5)     		ty = 11389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26686 / 11389 ti = "15/26686/11389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26686/11389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26686 ÷ 215
    26686 ÷ 32768     		x = 0.81439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11389 ÷ 215
    11389 ÷ 32768     		y = 0.347564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81439208984375 × 2 - 1) × π
    0.6287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97538376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347564697265625 × 2 - 1) × π
    0.30487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957779254408722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97538376} λ = 1.97538376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957779254408722))-π/2
    2×atan(2.60590299529549)-π/2
    2×1.20438168656165-π/2
    2.40876337312329-1.57079632675     		φ = 0.83796705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97538376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83796705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.011975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26686 KachelY 11389 1.97538376 0.83796705 113.181152 48.011975
    Oben rechts KachelX + 1 26687 KachelY 11389 1.97557551 0.83796705 113.192139 48.011975
    Unten links KachelX 26686 KachelY + 1 11390 1.97538376 0.83783876 113.181152 48.004625
    Unten rechts KachelX + 1 26687 KachelY + 1 11390 1.97557551 0.83783876 113.192139 48.004625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83796705-0.83783876) × R
    0.000128290000000031 × 6371000     		dl = 817.335590000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83796705-0.83783876) × R
    0.000128290000000031 × 6371000     		dr = 817.335590000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97538376-1.97557551) × cos(0.83796705) × R
    0.000191750000000157 × 0.668975267756001 × 6371000     		do = 817.24644437066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97538376-1.97557551) × cos(0.83783876) × R
    0.000191750000000157 × 0.669070618240126 × 6371000     		du = 817.362928264573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83796705)-sin(0.83783876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668975267756001-0.669070618240126)×R²
    abs(1.97557551-1.97538376)×9.53504841247899e-05×R²
    0.000191750000000157×9.53504841247899e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.53504841247899e-05×40589641000000     		ar = 668012.208917662m²