Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26684 / 46991
↖ ↑ ↗
← S 61.309815°
W 33.420410°		 ← 293.22 m → S 61.309815°
W 33.414917°		 →
↑
293.19 m
↓
↑
293.19 m
↓
S 61.312451°
W 33.420410°		 ← 293.20 m →
85 967 m²		 S 61.312451°
W 33.414917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407173156738281 y=0.717033386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407173156738281 × 216)
    floor (0.407173156738281 × 65536)
    floor (26684.5)     		tx = 26684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717033386230469 × 216)
    floor (0.717033386230469 × 65536)
    floor (46991.5)     		ty = 46991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26684 / 46991 ti = "16/26684/46991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26684/46991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26684 ÷ 216
    26684 ÷ 65536     		x = 0.40716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46991 ÷ 216
    46991 ÷ 65536     		y = 0.717025756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.1856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58329619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717025756835938 × 2 - 1) × π
    -0.434051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36361304659212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58329619} λ = -0.58329619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36361304659212))-π/2
    2×atan(0.255735122830756)-π/2
    2×0.250369099436463-π/2
    0.500738198872926-1.57079632675     		φ = -1.07005813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58329619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.420410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07005813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.309815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26684 KachelY 46991 -0.58329619 -1.07005813 -33.420410 -61.309815
    Oben rechts KachelX + 1 26685 KachelY 46991 -0.58320032 -1.07005813 -33.414917 -61.309815
    Unten links KachelX 26684 KachelY + 1 46992 -0.58329619 -1.07010415 -33.420410 -61.312451
    Unten rechts KachelX + 1 26685 KachelY + 1 46992 -0.58320032 -1.07010415 -33.414917 -61.312451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07005813--1.07010415) × R
    4.60199999998689e-05 × 6371000     		dl = 293.193419999165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07005813--1.07010415) × R
    4.60199999998689e-05 × 6371000     		dr = 293.193419999165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58329619--0.58320032) × cos(-1.07005813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480073236552056 × 6371000     		do = 293.222861590306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58329619--0.58320032) × cos(-1.07010415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480032865992172 × 6371000     		du = 293.198203746061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07005813)-sin(-1.07010415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480073236552056-0.480032865992172)×R²
    abs(-0.58320032--0.58329619)×4.03705598841508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03705598841508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03705598841508e-05×40589641000000     		ar = 85967.3988677766m²