Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2668 / 1797
↖ ↑ ↗
← N 80.159956°
W121.376953°		 ← 417.55 m → N 80.159956°
W121.354980°		 →
↑
417.62 m
↓
↑
417.62 m
↓
N 80.156200°
W121.376953°		 ← 417.71 m →
174 411 m²		 N 80.156200°
W121.354980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162872314453125 y=0.109710693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162872314453125 × 214)
    floor (0.162872314453125 × 16384)
    floor (2668.5)     		tx = 2668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109710693359375 × 214)
    floor (0.109710693359375 × 16384)
    floor (1797.5)     		ty = 1797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2668 / 1797 ti = "14/2668/1797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2668/1797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2668 ÷ 214
    2668 ÷ 16384     		x = 0.162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1797 ÷ 214
    1797 ÷ 16384     		y = 0.10968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.67431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.11842747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10968017578125 × 2 - 1) × π
    0.7806396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45245178456207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11842747} λ = -2.11842747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45245178456207))-π/2
    2×atan(11.6167937075027)-π/2
    2×1.484925741772-π/2
    2.96985148354401-1.57079632675     		φ = 1.39905516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11842747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39905516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.159956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2668 KachelY 1797 -2.11842747 1.39905516 -121.376953 80.159956
    Oben rechts KachelX + 1 2669 KachelY 1797 -2.11804397 1.39905516 -121.354980 80.159956
    Unten links KachelX 2668 KachelY + 1 1798 -2.11842747 1.39898961 -121.376953 80.156200
    Unten rechts KachelX + 1 2669 KachelY + 1 1798 -2.11804397 1.39898961 -121.354980 80.156200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39905516-1.39898961) × R
    6.55499999999698e-05 × 6371000     		dl = 417.619049999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39905516-1.39898961) × R
    6.55499999999698e-05 × 6371000     		dr = 417.619049999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11842747--2.11804397) × cos(1.39905516) × R
    0.00038349999999987 × 0.170898159217837 × 6371000     		do = 417.551798106377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11842747--2.11804397) × cos(1.39898961) × R
    0.00038349999999987 × 0.170962744524813 × 6371000     		du = 417.709597998326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39905516)-sin(1.39898961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170898159217837-0.170962744524813)×R²
    abs(-2.11804397--2.11842747)×6.45853069753954e-05×R²
    0.00038349999999987×6.45853069753954e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.45853069753954e-05×40589641000000     		ar = 174410.535433147m²