Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26679 / 47064
↖ ↑ ↗
← S 61.501734°
W 33.447876°		 ← 291.43 m → S 61.501734°
W 33.442383°		 →
↑
291.41 m
↓
↑
291.41 m
↓
S 61.504355°
W 33.447876°		 ← 291.40 m →
84 921 m²		 S 61.504355°
W 33.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407096862792969 y=0.718147277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407096862792969 × 216)
    floor (0.407096862792969 × 65536)
    floor (26679.5)     		tx = 26679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718147277832031 × 216)
    floor (0.718147277832031 × 65536)
    floor (47064.5)     		ty = 47064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26679 / 47064 ti = "16/26679/47064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26679/47064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26679 ÷ 216
    26679 ÷ 65536     		x = 0.407089233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47064 ÷ 216
    47064 ÷ 65536     		y = 0.7181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407089233398438 × 2 - 1) × π
    -0.185821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58377556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7181396484375 × 2 - 1) × π
    -0.436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37061183393665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58377556} λ = -0.58377556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37061183393665))-π/2
    2×atan(0.253951535843007)-π/2
    2×0.248694283885532-π/2
    0.497388567771063-1.57079632675     		φ = -1.07340776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58377556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07340776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.501734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26679 KachelY 47064 -0.58377556 -1.07340776 -33.447876 -61.501734
    Oben rechts KachelX + 1 26680 KachelY 47064 -0.58367969 -1.07340776 -33.442383 -61.501734
    Unten links KachelX 26679 KachelY + 1 47065 -0.58377556 -1.07345350 -33.447876 -61.504355
    Unten rechts KachelX + 1 26680 KachelY + 1 47065 -0.58367969 -1.07345350 -33.442383 -61.504355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07340776--1.07345350) × R
    4.57400000000163e-05 × 6371000     		dl = 291.409540000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07340776--1.07345350) × R
    4.57400000000163e-05 × 6371000     		dr = 291.409540000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58377556--0.58367969) × cos(-1.07340776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477132158226367 × 6371000     		do = 291.426486918363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58377556--0.58367969) × cos(-1.07345350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4770919599719 × 6371000     		du = 291.40193431616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07340776)-sin(-1.07345350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477132158226367-0.4770919599719)×R²
    abs(-0.58367969--0.58377556)×4.01982544667723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01982544667723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01982544667723e-05×40589641000000     		ar = 84920.8810805246m²