Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26671 / 47079
↖ ↑ ↗
← S 61.541024°
W 33.491821°		 ← 291.06 m → S 61.541024°
W 33.486328°		 →
↑
291.09 m
↓
↑
291.09 m
↓
S 61.543642°
W 33.491821°		 ← 291.03 m →
84 721 m²		 S 61.543642°
W 33.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406974792480469 y=0.718376159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406974792480469 × 216)
    floor (0.406974792480469 × 65536)
    floor (26671.5)     		tx = 26671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718376159667969 × 216)
    floor (0.718376159667969 × 65536)
    floor (47079.5)     		ty = 47079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26671 / 47079 ti = "16/26671/47079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26671/47079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26671 ÷ 216
    26671 ÷ 65536     		x = 0.406967163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47079 ÷ 216
    47079 ÷ 65536     		y = 0.718368530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406967163085938 × 2 - 1) × π
    -0.186065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58454255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718368530273438 × 2 - 1) × π
    -0.436737060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37204994092525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58454255} λ = -0.58454255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37204994092525))-π/2
    2×atan(0.253586588843857)-π/2
    2×0.248351417078593-π/2
    0.496702834157186-1.57079632675     		φ = -1.07409349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58454255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.491821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07409349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.541024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26671 KachelY 47079 -0.58454255 -1.07409349 -33.491821 -61.541024
    Oben rechts KachelX + 1 26672 KachelY 47079 -0.58444668 -1.07409349 -33.486328 -61.541024
    Unten links KachelX 26671 KachelY + 1 47080 -0.58454255 -1.07413918 -33.491821 -61.543642
    Unten rechts KachelX + 1 26672 KachelY + 1 47080 -0.58444668 -1.07413918 -33.486328 -61.543642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07409349--1.07413918) × R
    4.56899999998761e-05 × 6371000     		dl = 291.090989999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07409349--1.07413918) × R
    4.56899999998761e-05 × 6371000     		dr = 291.090989999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58454255--0.58444668) × cos(-1.07409349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.476529404930911 × 6371000     		do = 291.058332577172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58454255--0.58444668) × cos(-1.07413918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.476489235680154 × 6371000     		du = 291.03379769008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07409349)-sin(-1.07413918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476529404930911-0.476489235680154)×R²
    abs(-0.58444668--0.58454255)×4.01692507567275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01692507567275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01692507567275e-05×40589641000000     		ar = 84720.8872498863m²