Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26667 / 11277
↖ ↑ ↗
← N 48.828566°
E112.972412°		 ← 804.18 m → N 48.828566°
E112.983398°		 →
↑
804.28 m
↓
↑
804.28 m
↓
N 48.821333°
E112.972412°		 ← 804.30 m →
646 829 m²		 N 48.821333°
E112.983398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813827514648438 y=0.344161987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813827514648438 × 215)
    floor (0.813827514648438 × 32768)
    floor (26667.5)     		tx = 26667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344161987304688 × 215)
    floor (0.344161987304688 × 32768)
    floor (11277.5)     		ty = 11277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26667 / 11277 ti = "15/26667/11277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26667/11277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26667 ÷ 215
    26667 ÷ 32768     		x = 0.813812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11277 ÷ 215
    11277 ÷ 32768     		y = 0.344146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.813812255859375 × 2 - 1) × π
    0.62762451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.97174056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344146728515625 × 2 - 1) × π
    0.31170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.979254985438507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97174056} λ = 1.97174056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979254985438507))-π/2
    2×atan(2.66247192249594)-π/2
    2×1.21150778213288-π/2
    2.42301556426576-1.57079632675     		φ = 0.85221924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97174056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.972412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85221924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.828566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26667 KachelY 11277 1.97174056 0.85221924 112.972412 48.828566
    Oben rechts KachelX + 1 26668 KachelY 11277 1.97193230 0.85221924 112.983398 48.828566
    Unten links KachelX 26667 KachelY + 1 11278 1.97174056 0.85209300 112.972412 48.821333
    Unten rechts KachelX + 1 26668 KachelY + 1 11278 1.97193230 0.85209300 112.983398 48.821333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85221924-0.85209300) × R
    0.000126240000000055 × 6371000     		dl = 804.275040000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85221924-0.85209300) × R
    0.000126240000000055 × 6371000     		dr = 804.275040000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97174056-1.97193230) × cos(0.85221924) × R
    0.000191739999999996 × 0.658314250510769 × 6371000     		do = 804.180586057371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97174056-1.97193230) × cos(0.85209300) × R
    0.000191739999999996 × 0.658409271568341 × 6371000     		du = 804.296661457085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85221924)-sin(0.85209300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658314250510769-0.658409271568341)×R²
    abs(1.97193230-1.97174056)×9.50210575714205e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50210575714205e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50210575714205e-05×40589641000000     		ar = 646829.052151809m²