Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26666 / 11278
↖ ↑ ↗
← N 48.821333°
E112.961426°		 ← 804.34 m → N 48.821333°
E112.972412°		 →
↑
804.40 m
↓
↑
804.40 m
↓
N 48.814098°
E112.961426°		 ← 804.45 m →
647 059 m²		 N 48.814098°
E112.972412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813796997070312 y=0.344192504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813796997070312 × 215)
    floor (0.813796997070312 × 32768)
    floor (26666.5)     		tx = 26666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344192504882812 × 215)
    floor (0.344192504882812 × 32768)
    floor (11278.5)     		ty = 11278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26666 / 11278 ti = "15/26666/11278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26666/11278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26666 ÷ 215
    26666 ÷ 32768     		x = 0.81378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11278 ÷ 215
    11278 ÷ 32768     		y = 0.34417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81378173828125 × 2 - 1) × π
    0.6275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97154881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34417724609375 × 2 - 1) × π
    0.3116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979063237840027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97154881} λ = 1.97154881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979063237840027))-π/2
    2×atan(2.66196144884139)-π/2
    2×1.21144466248944-π/2
    2.42288932497888-1.57079632675     		φ = 0.85209300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97154881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.961426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85209300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.821333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26666 KachelY 11278 1.97154881 0.85209300 112.961426 48.821333
    Oben rechts KachelX + 1 26667 KachelY 11278 1.97174056 0.85209300 112.972412 48.821333
    Unten links KachelX 26666 KachelY + 1 11279 1.97154881 0.85196674 112.961426 48.814098
    Unten rechts KachelX + 1 26667 KachelY + 1 11279 1.97174056 0.85196674 112.972412 48.814098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85209300-0.85196674) × R
    0.000126260000000045 × 6371000     		dl = 804.402460000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85209300-0.85196674) × R
    0.000126260000000045 × 6371000     		dr = 804.402460000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97154881-1.97174056) × cos(0.85209300) × R
    0.000191749999999935 × 0.658409271568341 × 6371000     		do = 804.338608711522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97154881-1.97174056) × cos(0.85196674) × R
    0.000191749999999935 × 0.658504297184688 × 6371000     		du = 804.454695734207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85209300)-sin(0.85196674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658409271568341-0.658504297184688)×R²
    abs(1.97174056-1.97154881)×9.50256163468888e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50256163468888e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50256163468888e-05×40589641000000     		ar = 647058.646723713m²