Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26647 / 47107
↖ ↑ ↗
← S 61.614232°
W 33.623658°		 ← 290.40 m → S 61.614232°
W 33.618164°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
S 61.616843°
W 33.623658°		 ← 290.38 m →
84 326 m²		 S 61.616843°
W 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406608581542969 y=0.718803405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406608581542969 × 216)
    floor (0.406608581542969 × 65536)
    floor (26647.5)     		tx = 26647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718803405761719 × 216)
    floor (0.718803405761719 × 65536)
    floor (47107.5)     		ty = 47107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26647 / 47107 ti = "16/26647/47107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26647/47107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26647 ÷ 216
    26647 ÷ 65536     		x = 0.406600952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47107 ÷ 216
    47107 ÷ 65536     		y = 0.718795776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406600952148438 × 2 - 1) × π
    -0.186798095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58684353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718795776367188 × 2 - 1) × π
    -0.437591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37473440730397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58684353} λ = -0.58684353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37473440730397))-π/2
    2×atan(0.252906757073036)-π/2
    2×0.247712557846115-π/2
    0.495425115692229-1.57079632675     		φ = -1.07537121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58684353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.623658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07537121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.614232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26647 KachelY 47107 -0.58684353 -1.07537121 -33.623658 -61.614232
    Oben rechts KachelX + 1 26648 KachelY 47107 -0.58674765 -1.07537121 -33.618164 -61.614232
    Unten links KachelX 26647 KachelY + 1 47108 -0.58684353 -1.07541679 -33.623658 -61.616843
    Unten rechts KachelX + 1 26648 KachelY + 1 47108 -0.58674765 -1.07541679 -33.618164 -61.616843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07537121--1.07541679) × R
    4.55800000001005e-05 × 6371000     		dl = 290.390180000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07537121--1.07541679) × R
    4.55800000001005e-05 × 6371000     		dr = 290.390180000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58684353--0.58674765) × cos(-1.07537121) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.47540569781234 × 6371000     		do = 290.402274109246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58684353--0.58674765) × cos(-1.07541679) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.475365597552951 × 6371000     		du = 290.377778806451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07537121)-sin(-1.07541679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47540569781234-0.475365597552951)×R²
    abs(-0.58674765--0.58684353)×4.01002593883315e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.01002593883315e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.01002593883315e-05×40589641000000     		ar = 84326.4120678348m²