Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26647 / 47015
↖ ↑ ↗
← S 61.373042°
W 33.623658°		 ← 292.66 m → S 61.373042°
W 33.618164°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
S 61.375673°
W 33.623658°		 ← 292.64 m →
85 635 m²		 S 61.375673°
W 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406608581542969 y=0.717399597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406608581542969 × 216)
    floor (0.406608581542969 × 65536)
    floor (26647.5)     		tx = 26647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717399597167969 × 216)
    floor (0.717399597167969 × 65536)
    floor (47015.5)     		ty = 47015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26647 / 47015 ti = "16/26647/47015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26647/47015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26647 ÷ 216
    26647 ÷ 65536     		x = 0.406600952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47015 ÷ 216
    47015 ÷ 65536     		y = 0.717391967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406600952148438 × 2 - 1) × π
    -0.186798095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58684353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717391967773438 × 2 - 1) × π
    -0.434783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36591401777388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58684353} λ = -0.58684353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36591401777388))-π/2
    2×atan(0.255147360154772)-π/2
    2×0.249817339250338-π/2
    0.499634678500675-1.57079632675     		φ = -1.07116165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58684353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.623658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07116165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.373042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26647 KachelY 47015 -0.58684353 -1.07116165 -33.623658 -61.373042
    Oben rechts KachelX + 1 26648 KachelY 47015 -0.58674765 -1.07116165 -33.618164 -61.373042
    Unten links KachelX 26647 KachelY + 1 47016 -0.58684353 -1.07120758 -33.623658 -61.375673
    Unten rechts KachelX + 1 26648 KachelY + 1 47016 -0.58674765 -1.07120758 -33.618164 -61.375673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07116165--1.07120758) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dl = 292.620029999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07116165--1.07120758) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dr = 292.620029999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58684353--0.58674765) × cos(-1.07116165) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.479104905344765 × 6371000     		do = 292.661940505257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58684353--0.58674765) × cos(-1.07120758) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.479064589430628 × 6371000     		du = 292.637313469438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07116165)-sin(-1.07120758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479104905344765-0.479064589430628)×R²
    abs(-0.58674765--0.58684353)×4.03159141373899e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.03159141373899e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.03159141373899e-05×40589641000000     		ar = 85635.1426439406m²