Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26644 / 11218
↖ ↑ ↗
← N 49.253465°
E112.719727°		 ← 797.38 m → N 49.253465°
E112.730713°		 →
↑
797.46 m
↓
↑
797.46 m
↓
N 49.246293°
E112.719727°		 ← 797.50 m →
635 924 m²		 N 49.246293°
E112.730713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813125610351562 y=0.342361450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813125610351562 × 215)
    floor (0.813125610351562 × 32768)
    floor (26644.5)     		tx = 26644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342361450195312 × 215)
    floor (0.342361450195312 × 32768)
    floor (11218.5)     		ty = 11218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26644 / 11218 ti = "15/26644/11218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26644/11218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26644 ÷ 215
    26644 ÷ 32768     		x = 0.8131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11218 ÷ 215
    11218 ÷ 32768     		y = 0.34234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8131103515625 × 2 - 1) × π
    0.626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96733036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34234619140625 × 2 - 1) × π
    0.3153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99056809374884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96733036} λ = 1.96733036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99056809374884))-π/2
    2×atan(2.69276378018365)-π/2
    2×1.21521572755741-π/2
    2.43043145511482-1.57079632675     		φ = 0.85963513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96733036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.719727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85963513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.253465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26644 KachelY 11218 1.96733036 0.85963513 112.719727 49.253465
    Oben rechts KachelX + 1 26645 KachelY 11218 1.96752211 0.85963513 112.730713 49.253465
    Unten links KachelX 26644 KachelY + 1 11219 1.96733036 0.85950996 112.719727 49.246293
    Unten rechts KachelX + 1 26645 KachelY + 1 11219 1.96752211 0.85950996 112.730713 49.246293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85963513-0.85950996) × R
    0.000125170000000008 × 6371000     		dl = 797.45807000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85963513-0.85950996) × R
    0.000125170000000008 × 6371000     		dr = 797.45807000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96733036-1.96752211) × cos(0.85963513) × R
    0.000191749999999935 × 0.652713938744302 × 6371000     		do = 797.380966591865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96733036-1.96752211) × cos(0.85950996) × R
    0.000191749999999935 × 0.652808762980805 × 6371000     		du = 797.496807601028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85963513)-sin(0.85950996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652713938744302-0.652808762980805)×R²
    abs(1.96752211-1.96733036)×9.48242365024221e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48242365024221e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48242365024221e-05×40589641000000     		ar = 635924.076676733m²