Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26639 / 13233
↖ ↑ ↗
← N 32.685620°
E112.664795°		 ← 1 028.19 m → N 32.685620°
E112.675781°		 →
↑
1 028.22 m
↓
↑
1 028.22 m
↓
N 32.676373°
E112.664795°		 ← 1 028.29 m →
1 057 254 m²		 N 32.676373°
E112.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812973022460938 y=0.403854370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812973022460938 × 215)
    floor (0.812973022460938 × 32768)
    floor (26639.5)     		tx = 26639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.403854370117188 × 215)
    floor (0.403854370117188 × 32768)
    floor (13233.5)     		ty = 13233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26639 / 13233 ti = "15/26639/13233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26639/13233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26639 ÷ 215
    26639 ÷ 32768     		x = 0.812957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13233 ÷ 215
    13233 ÷ 32768     		y = 0.403839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812957763671875 × 2 - 1) × π
    0.62591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.96637162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.403839111328125 × 2 - 1) × π
    0.19232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.604196682811188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96637162} λ = 1.96637162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.604196682811188))-π/2
    2×atan(1.82978172322161)-π/2
    2×1.07063400564152-π/2
    2.14126801128304-1.57079632675     		φ = 0.57047168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96637162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.664795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57047168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.685620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26639 KachelY 13233 1.96637162 0.57047168 112.664795 32.685620
    Oben rechts KachelX + 1 26640 KachelY 13233 1.96656337 0.57047168 112.675781 32.685620
    Unten links KachelX 26639 KachelY + 1 13234 1.96637162 0.57031029 112.664795 32.676373
    Unten rechts KachelX + 1 26640 KachelY + 1 13234 1.96656337 0.57031029 112.675781 32.676373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57047168-0.57031029) × R
    0.000161390000000039 × 6371000     		dl = 1028.21569000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57047168-0.57031029) × R
    0.000161390000000039 × 6371000     		dr = 1028.21569000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96637162-1.96656337) × cos(0.57047168) × R
    0.000191749999999935 × 0.841646347873046 × 6371000     		do = 1028.18821318052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96637162-1.96656337) × cos(0.57031029) × R
    0.000191749999999935 × 0.84173349220749 × 6371000     		du = 1028.29467211989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57047168)-sin(0.57031029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841646347873046-0.84173349220749)×R²
    abs(1.96656337-1.96637162)×8.71443344441225e-05×R²
    0.000191749999999935×8.71443344441225e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.71443344441225e-05×40589641000000     		ar = 1057253.98673616m²