Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26633 / 47049
S 61.462395°
W 33.700562°
← 291.83 m → S 61.462395°
W 33.695068°

291.79 m

291.79 m
S 61.465019°
W 33.700562°
← 291.80 m →
85 149 m²
S 61.465019°
W 33.695068°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406394958496094 y=0.717918395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406394958496094 × 216)
    floor (0.406394958496094 × 65536)
    floor (26633.5)
    tx = 26633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717918395996094 × 216)
    floor (0.717918395996094 × 65536)
    floor (47049.5)
    ty = 47049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26633 / 47049 ti = "16/26633/47049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26633/47049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26633 ÷ 216
    26633 ÷ 65536
    x = 0.406387329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47049 ÷ 216
    47049 ÷ 65536
    y = 0.717910766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.406387329101562 × 2 - 1) × π
    -0.187225341796875 × 3.1415926535
    Λ = -0.58818576
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.717910766601562 × 2 - 1) × π
    -0.435821533203125 × 3.1415926535
    Φ = -1.36917372694804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58818576} λ = -0.58818576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36917372694804))-π/2
    2×atan(0.25431700805255)-π/2
    2×0.249037584299887-π/2
    0.498075168599774-1.57079632675
    φ = -1.07272116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58818576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.700562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07272116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.462395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26633 KachelY 47049 -0.58818576 -1.07272116 -33.700562 -61.462395
    Oben rechts KachelX + 1 26634 KachelY 47049 -0.58808988 -1.07272116 -33.695068 -61.462395
    Unten links KachelX 26633 KachelY + 1 47050 -0.58818576 -1.07276696 -33.700562 -61.465019
    Unten rechts KachelX + 1 26634 KachelY + 1 47050 -0.58808988 -1.07276696 -33.695068 -61.465019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.07272116--1.07276696) × R
    4.58000000000958e-05 × 6371000
    dl = 291.79180000061m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.07272116--1.07276696) × R
    4.58000000000958e-05 × 6371000
    dr = 291.79180000061m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58818576--0.58808988) × cos(-1.07272116) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.477735451460504 × 6371000
    do = 291.825407573263m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58818576--0.58808988) × cos(-1.07276696) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.477695215487718 × 6371000
    du = 291.800829369738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.07272116)-sin(-1.07276696))×
    abs(λ12)×abs(0.477735451460504-0.477695215487718)×
    abs(-0.58808988--0.58818576)×4.02359727855184e-05×
    9.58800000000481e-05×4.02359727855184e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.02359727855184e-05×40589641000000
    ar = 85148.6751177064m²