Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2663 / 3036
↖ ↑ ↗
← S 65.219894°
E 54.052734°		 ← 4 096.25 m → S 65.219894°
E 54.140625°		 →
↑
4 093.37 m
↓
↑
4 093.37 m
↓
S 65.256707°
E 54.052734°		 ← 4 090.54 m →
16 755 769 m²		 S 65.256707°
E 54.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6502685546875 y=0.7413330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6502685546875 × 212)
    floor (0.6502685546875 × 4096)
    floor (2663.5)     		tx = 2663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7413330078125 × 212)
    floor (0.7413330078125 × 4096)
    floor (3036.5)     		ty = 3036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2663 / 3036 ti = "12/2663/3036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2663/3036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2663 ÷ 212
    2663 ÷ 4096     		x = 0.650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3036 ÷ 212
    3036 ÷ 4096     		y = 0.7412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650146484375 × 2 - 1) × π
    0.30029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94339818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7412109375 × 2 - 1) × π
    -0.482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5155730183877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94339818} λ = 0.94339818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5155730183877))-π/2
    2×atan(0.219682266796203)-π/2
    2×0.216247219913032-π/2
    0.432494439826064-1.57079632675     		φ = -1.13830189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94339818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13830189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.219894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2663 KachelY 3036 0.94339818 -1.13830189 54.052734 -65.219894
    Oben rechts KachelX + 1 2664 KachelY 3036 0.94493217 -1.13830189 54.140625 -65.219894
    Unten links KachelX 2663 KachelY + 1 3037 0.94339818 -1.13894439 54.052734 -65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 2664 KachelY + 1 3037 0.94493217 -1.13894439 54.140625 -65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13830189--1.13894439) × R
    0.000642500000000101 × 6371000     		dl = 4093.36750000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13830189--1.13894439) × R
    0.000642500000000101 × 6371000     		dr = 4093.36750000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94339818-0.94493217) × cos(-1.13830189) × R
    0.00153398999999999 × 0.419136860759979 × 6371000     		do = 4096.24561859996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94339818-0.94493217) × cos(-1.13894439) × R
    0.00153398999999999 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 4090.54375679475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13830189)-sin(-1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419136860759979-0.418553433719698)×R²
    abs(0.94493217-0.94339818)×0.000583427040280693×R²
    0.00153398999999999×0.000583427040280693×6371000²
    0.00153398999999999×0.000583427040280693×40589641000000     		ar = 16755769.3556996m²