Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26629 / 46982
↖ ↑ ↗
← S 61.286071°
W 33.722534°		 ← 293.44 m → S 61.286071°
W 33.717041°		 →
↑
293.45 m
↓
↑
293.45 m
↓
S 61.288710°
W 33.722534°		 ← 293.42 m →
86 107 m²		 S 61.288710°
W 33.717041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406333923339844 y=0.716896057128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406333923339844 × 216)
    floor (0.406333923339844 × 65536)
    floor (26629.5)     		tx = 26629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716896057128906 × 216)
    floor (0.716896057128906 × 65536)
    floor (46982.5)     		ty = 46982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26629 / 46982 ti = "16/26629/46982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26629/46982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26629 ÷ 216
    26629 ÷ 65536     		x = 0.406326293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46982 ÷ 216
    46982 ÷ 65536     		y = 0.716888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406326293945312 × 2 - 1) × π
    -0.187347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58856925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.43377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36275018239896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58856925} λ = -0.58856925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36275018239896))-π/2
    2×atan(0.255955882740394)-π/2
    2×0.250576296841249-π/2
    0.501152593682498-1.57079632675     		φ = -1.06964373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58856925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.722534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06964373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.286071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26629 KachelY 46982 -0.58856925 -1.06964373 -33.722534 -61.286071
    Oben rechts KachelX + 1 26630 KachelY 46982 -0.58847338 -1.06964373 -33.717041 -61.286071
    Unten links KachelX 26629 KachelY + 1 46983 -0.58856925 -1.06968979 -33.722534 -61.288710
    Unten rechts KachelX + 1 26630 KachelY + 1 46983 -0.58847338 -1.06968979 -33.717041 -61.288710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06964373--1.06968979) × R
    4.60600000000699e-05 × 6371000     		dl = 293.448260000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06964373--1.06968979) × R
    4.60600000000699e-05 × 6371000     		dr = 293.448260000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58856925--0.58847338) × cos(-1.06964373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480436718774902 × 6371000     		do = 293.444872086633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58856925--0.58847338) × cos(-1.06968979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480396322291365 × 6371000     		du = 293.420198408538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06964373)-sin(-1.06968979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480436718774902-0.480396322291365)×R²
    abs(-0.58847338--0.58856925)×4.03964835368198e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03964835368198e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03964835368198e-05×40589641000000     		ar = 86107.2669112321m²