Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26628 / 47068
↖ ↑ ↗
← S 61.512217°
W 33.728027°		 ← 291.36 m → S 61.512217°
W 33.722534°		 →
↑
291.28 m
↓
↑
291.28 m
↓
S 61.514836°
W 33.728027°		 ← 291.33 m →
84 864 m²		 S 61.514836°
W 33.722534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406318664550781 y=0.718208312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406318664550781 × 216)
    floor (0.406318664550781 × 65536)
    floor (26628.5)     		tx = 26628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718208312988281 × 216)
    floor (0.718208312988281 × 65536)
    floor (47068.5)     		ty = 47068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26628 / 47068 ti = "16/26628/47068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26628/47068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26628 ÷ 216
    26628 ÷ 65536     		x = 0.40631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47068 ÷ 216
    47068 ÷ 65536     		y = 0.71820068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.4364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37099532913361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58866513} λ = -0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37099532913361))-π/2
    2×atan(0.253854165320507)-π/2
    2×0.248602810355802-π/2
    0.497205620711603-1.57079632675     		φ = -1.07359071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07359071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.512217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26628 KachelY 47068 -0.58866513 -1.07359071 -33.728027 -61.512217
    Oben rechts KachelX + 1 26629 KachelY 47068 -0.58856925 -1.07359071 -33.722534 -61.512217
    Unten links KachelX 26628 KachelY + 1 47069 -0.58866513 -1.07363643 -33.728027 -61.514836
    Unten rechts KachelX + 1 26629 KachelY + 1 47069 -0.58856925 -1.07363643 -33.722534 -61.514836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07359071--1.07363643) × R
    4.57200000001379e-05 × 6371000     		dl = 291.282120000878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07359071--1.07363643) × R
    4.57200000001379e-05 × 6371000     		dr = 291.282120000878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58866513--0.58856925) × cos(-1.07359071) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.476971368009144 × 6371000     		do = 291.358666065819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58866513--0.58856925) × cos(-1.07363643) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.476931183341626 × 6371000     		du = 291.334119202192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07359071)-sin(-1.07363643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476971368009144-0.476931183341626)×R²
    abs(-0.58856925--0.58866513)×4.01846675184281e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.01846675184281e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.01846675184281e-05×40589641000000     		ar = 84863.9949157511m²