Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26624 / 51198
↖ ↑ ↗
← S 70.608967°
W 33.750000°		 ← 202.79 m → S 70.608967°
W 33.744507°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
S 70.610790°
W 33.750000°		 ← 202.77 m →
41 122 m²		 S 70.610790°
W 33.744507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406257629394531 y=0.781227111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406257629394531 × 216)
    floor (0.406257629394531 × 65536)
    floor (26624.5)     		tx = 26624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781227111816406 × 216)
    floor (0.781227111816406 × 65536)
    floor (51198.5)     		ty = 51198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26624 / 51198 ti = "16/26624/51198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26624/51198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26624 ÷ 216
    26624 ÷ 65536     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51198 ÷ 216
    51198 ÷ 65536     		y = 0.781219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76695411999527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76695411999527))-π/2
    2×atan(0.170852593595394)-π/2
    2×0.16921868597694-π/2
    0.33843737195388-1.57079632675     		φ = -1.23235895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23235895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.608967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26624 KachelY 51198 -0.58904862 -1.23235895 -33.750000 -70.608967
    Oben rechts KachelX + 1 26625 KachelY 51198 -0.58895275 -1.23235895 -33.744507 -70.608967
    Unten links KachelX 26624 KachelY + 1 51199 -0.58904862 -1.23239078 -33.750000 -70.610790
    Unten rechts KachelX + 1 26625 KachelY + 1 51199 -0.58895275 -1.23239078 -33.744507 -70.610790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23235895--1.23239078) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dl = 202.788929999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23235895--1.23239078) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dr = 202.788929999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58895275) × cos(-1.23235895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332013515270415 × 6371000     		do = 202.789794601873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58895275) × cos(-1.23239078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33198349067079 × 6371000     		du = 202.771455943623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23235895)-sin(-1.23239078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332013515270415-0.33198349067079)×R²
    abs(-0.58895275--0.58904862)×3.00245996248671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00245996248671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00245996248671e-05×40589641000000     		ar = 41121.6660270873m²