Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26621 / 46999
↖ ↑ ↗
← S 61.330905°
W 33.766479°		 ← 293.03 m → S 61.330905°
W 33.760986°		 →
↑
293 m
↓
↑
293 m
↓
S 61.333540°
W 33.766479°		 ← 293 m →
85 854 m²		 S 61.333540°
W 33.760986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406211853027344 y=0.717155456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406211853027344 × 216)
    floor (0.406211853027344 × 65536)
    floor (26621.5)     		tx = 26621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717155456542969 × 216)
    floor (0.717155456542969 × 65536)
    floor (46999.5)     		ty = 46999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26621 / 46999 ti = "16/26621/46999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26621/46999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26621 ÷ 216
    26621 ÷ 65536     		x = 0.406204223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46999 ÷ 216
    46999 ÷ 65536     		y = 0.717147827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406204223632812 × 2 - 1) × π
    -0.187591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58933624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717147827148438 × 2 - 1) × π
    -0.434295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36438003698604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58933624} λ = -0.58933624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36438003698604))-π/2
    2×atan(0.255539051650125)-π/2
    2×0.250185055581182-π/2
    0.500370111162364-1.57079632675     		φ = -1.07042622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58933624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.766479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07042622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.330905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26621 KachelY 46999 -0.58933624 -1.07042622 -33.766479 -61.330905
    Oben rechts KachelX + 1 26622 KachelY 46999 -0.58924037 -1.07042622 -33.760986 -61.330905
    Unten links KachelX 26621 KachelY + 1 47000 -0.58933624 -1.07047221 -33.766479 -61.333540
    Unten rechts KachelX + 1 26622 KachelY + 1 47000 -0.58924037 -1.07047221 -33.760986 -61.333540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07042622--1.07047221) × R
    4.59899999998292e-05 × 6371000     		dl = 293.002289998912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07042622--1.07047221) × R
    4.59899999998292e-05 × 6371000     		dr = 293.002289998912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58933624--0.58924037) × cos(-1.07042622) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479750305030402 × 6371000     		do = 293.025618966332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58933624--0.58924037) × cos(-1.07047221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479709952664207 × 6371000     		du = 293.00097223457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07042622)-sin(-1.07047221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479750305030402-0.479709952664207)×R²
    abs(-0.58924037--0.58933624)×4.03523661945959e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03523661945959e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03523661945959e-05×40589641000000     		ar = 85853.5666261541m²