Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26620 / 47002
↖ ↑ ↗
← S 61.338809°
W 33.771973°		 ← 292.98 m → S 61.338809°
W 33.766479°		 →
↑
293 m
↓
↑
293 m
↓
S 61.341444°
W 33.771973°		 ← 292.96 m →
85 841 m²		 S 61.341444°
W 33.766479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406196594238281 y=0.717201232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406196594238281 × 216)
    floor (0.406196594238281 × 65536)
    floor (26620.5)     		tx = 26620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717201232910156 × 216)
    floor (0.717201232910156 × 65536)
    floor (47002.5)     		ty = 47002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26620 / 47002 ti = "16/26620/47002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26620/47002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26620 ÷ 216
    26620 ÷ 65536     		x = 0.40618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47002 ÷ 216
    47002 ÷ 65536     		y = 0.717193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58943212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.43438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36466765838376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58943212} λ = -0.58943212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36466765838376))-π/2
    2×atan(0.255465563719774)-π/2
    2×0.250116071059054-π/2
    0.500232142118109-1.57079632675     		φ = -1.07056418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58943212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07056418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.338809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26620 KachelY 47002 -0.58943212 -1.07056418 -33.771973 -61.338809
    Oben rechts KachelX + 1 26621 KachelY 47002 -0.58933624 -1.07056418 -33.766479 -61.338809
    Unten links KachelX 26620 KachelY + 1 47003 -0.58943212 -1.07061017 -33.771973 -61.341444
    Unten rechts KachelX + 1 26621 KachelY + 1 47003 -0.58933624 -1.07061017 -33.766479 -61.341444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07056418--1.07061017) × R
    4.59899999998292e-05 × 6371000     		dl = 293.002289998912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07056418--1.07061017) × R
    4.59899999998292e-05 × 6371000     		dr = 293.002289998912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58943212--0.58933624) × cos(-1.07056418) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.47962925366274 × 6371000     		do = 292.982239451327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58943212--0.58933624) × cos(-1.07061017) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.479588898253147 × 6371000     		du = 292.957588289652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07056418)-sin(-1.07061017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47962925366274-0.479588898253147)×R²
    abs(-0.58933624--0.58943212)×4.03554095929071e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.03554095929071e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.03554095929071e-05×40589641000000     		ar = 85840.8556800568m²