Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26615 / 46968
↖ ↑ ↗
← S 61.249102°
W 33.799439°		 ← 293.82 m → S 61.249102°
W 33.793945°		 →
↑
293.77 m
↓
↑
293.77 m
↓
S 61.251744°
W 33.799439°		 ← 293.80 m →
86 311 m²		 S 61.251744°
W 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406120300292969 y=0.716682434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406120300292969 × 216)
    floor (0.406120300292969 × 65536)
    floor (26615.5)     		tx = 26615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716682434082031 × 216)
    floor (0.716682434082031 × 65536)
    floor (46968.5)     		ty = 46968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26615 / 46968 ti = "16/26615/46968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26615/46968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26615 ÷ 216
    26615 ÷ 65536     		x = 0.406112670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46968 ÷ 216
    46968 ÷ 65536     		y = 0.7166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406112670898438 × 2 - 1) × π
    -0.187774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58991149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58991149} λ = -0.58991149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36140794920959))-π/2
    2×atan(0.256299665888183)-π/2
    2×0.250898915724379-π/2
    0.501797831448757-1.57079632675     		φ = -1.06899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58991149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.799439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.249102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26615 KachelY 46968 -0.58991149 -1.06899850 -33.799439 -61.249102
    Oben rechts KachelX + 1 26616 KachelY 46968 -0.58981561 -1.06899850 -33.793945 -61.249102
    Unten links KachelX 26615 KachelY + 1 46969 -0.58991149 -1.06904461 -33.799439 -61.251744
    Unten rechts KachelX + 1 26616 KachelY + 1 46969 -0.58981561 -1.06904461 -33.793945 -61.251744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06899850--1.06904461) × R
    4.61099999999881e-05 × 6371000     		dl = 293.766809999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06899850--1.06904461) × R
    4.61099999999881e-05 × 6371000     		dr = 293.766809999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58991149--0.58981561) × cos(-1.06899850) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.481002504403885 × 6371000     		do = 293.821091698627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58991149--0.58981561) × cos(-1.06904461) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.480962078369327 × 6371000     		du = 293.796397395587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06899850)-sin(-1.06904461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481002504403885-0.480962078369327)×R²
    abs(-0.58981561--0.58991149)×4.04260345583385e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.04260345583385e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.04260345583385e-05×40589641000000     		ar = 86311.2576508371m²