Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26615 / 46967
↖ ↑ ↗
← S 61.246460°
W 33.799439°		 ← 293.85 m → S 61.246460°
W 33.793945°		 →
↑
293.83 m
↓
↑
293.83 m
↓
S 61.249102°
W 33.799439°		 ← 293.82 m →
86 337 m²		 S 61.249102°
W 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406120300292969 y=0.716667175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406120300292969 × 216)
    floor (0.406120300292969 × 65536)
    floor (26615.5)     		tx = 26615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716667175292969 × 216)
    floor (0.716667175292969 × 65536)
    floor (46967.5)     		ty = 46967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26615 / 46967 ti = "16/26615/46967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26615/46967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26615 ÷ 216
    26615 ÷ 65536     		x = 0.406112670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46967 ÷ 216
    46967 ÷ 65536     		y = 0.716659545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406112670898438 × 2 - 1) × π
    -0.187774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58991149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716659545898438 × 2 - 1) × π
    -0.433319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36131207541035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58991149} λ = -0.58991149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36131207541035))-π/2
    2×atan(0.256324239488859)-π/2
    2×0.250921974462417-π/2
    0.501843948924835-1.57079632675     		φ = -1.06895238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58991149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.799439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06895238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.246460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26615 KachelY 46967 -0.58991149 -1.06895238 -33.799439 -61.246460
    Oben rechts KachelX + 1 26616 KachelY 46967 -0.58981561 -1.06895238 -33.793945 -61.246460
    Unten links KachelX 26615 KachelY + 1 46968 -0.58991149 -1.06899850 -33.799439 -61.249102
    Unten rechts KachelX + 1 26616 KachelY + 1 46968 -0.58981561 -1.06899850 -33.793945 -61.249102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06895238--1.06899850) × R
    4.61199999999273e-05 × 6371000     		dl = 293.830519999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06895238--1.06899850) × R
    4.61199999999273e-05 × 6371000     		dr = 293.830519999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58991149--0.58981561) × cos(-1.06895238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.481042938182739 × 6371000     		do = 293.845790732282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58991149--0.58981561) × cos(-1.06899850) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.481002504403885 × 6371000     		du = 293.821091698627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06895238)-sin(-1.06899850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481042938182739-0.481002504403885)×R²
    abs(-0.58981561--0.58991149)×4.04337788538212e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.04337788538212e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.04337788538212e-05×40589641000000     		ar = 86337.232840869m²