Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26614 / 47003
↖ ↑ ↗
← S 61.341444°
W 33.804932°		 ← 292.93 m → S 61.341444°
W 33.799439°		 →
↑
292.87 m
↓
↑
292.87 m
↓
S 61.344078°
W 33.804932°		 ← 292.90 m →
85 787 m²		 S 61.344078°
W 33.799439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406105041503906 y=0.717216491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406105041503906 × 216)
    floor (0.406105041503906 × 65536)
    floor (26614.5)     		tx = 26614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717216491699219 × 216)
    floor (0.717216491699219 × 65536)
    floor (47003.5)     		ty = 47003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26614 / 47003 ti = "16/26614/47003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26614/47003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26614 ÷ 216
    26614 ÷ 65536     		x = 0.406097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47003 ÷ 216
    47003 ÷ 65536     		y = 0.717208862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406097412109375 × 2 - 1) × π
    -0.18780517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59000736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717208862304688 × 2 - 1) × π
    -0.434417724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.364763532183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59000736} λ = -0.59000736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.364763532183))-π/2
    2×atan(0.25544107243966)-π/2
    2×0.25009308008696-π/2
    0.50018616017392-1.57079632675     		φ = -1.07061017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59000736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.804932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07061017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.341444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26614 KachelY 47003 -0.59000736 -1.07061017 -33.804932 -61.341444
    Oben rechts KachelX + 1 26615 KachelY 47003 -0.58991149 -1.07061017 -33.799439 -61.341444
    Unten links KachelX 26614 KachelY + 1 47004 -0.59000736 -1.07065614 -33.804932 -61.344078
    Unten rechts KachelX + 1 26615 KachelY + 1 47004 -0.58991149 -1.07065614 -33.799439 -61.344078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07061017--1.07065614) × R
    4.59700000001728e-05 × 6371000     		dl = 292.874870001101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07061017--1.07065614) × R
    4.59700000001728e-05 × 6371000     		dr = 292.874870001101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59000736--0.58991149) × cos(-1.07061017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479588898253147 × 6371000     		do = 292.92703368079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59000736--0.58991149) × cos(-1.07065614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479548559379492 × 6371000     		du = 292.902395190106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07061017)-sin(-1.07065614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479588898253147-0.479548559379492)×R²
    abs(-0.58991149--0.59000736)×4.03388736551213e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03388736551213e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03388736551213e-05×40589641000000     		ar = 85787.3589267048m²