Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26606 / 5744
↖ ↑ ↗
← N 81.427045°
W 33.848877°		 ← 91.05 m → N 81.427045°
W 33.843384°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
N 81.426226°
W 33.848877°		 ← 91.06 m →
8 290 m²		 N 81.426226°
W 33.843384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405982971191406 y=0.0876541137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405982971191406 × 216)
    floor (0.405982971191406 × 65536)
    floor (26606.5)     		tx = 26606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0876541137695312 × 216)
    floor (0.0876541137695312 × 65536)
    floor (5744.5)     		ty = 5744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26606 / 5744 ti = "16/26606/5744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26606/5744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26606 ÷ 216
    26606 ÷ 65536     		x = 0.405975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5744 ÷ 216
    5744 ÷ 65536     		y = 0.087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405975341796875 × 2 - 1) × π
    -0.18804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59077435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087646484375 × 2 - 1) × π
    0.82470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59089355066479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59077435} λ = -0.59077435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59089355066479))-π/2
    2×atan(13.3416877525221)-π/2
    2×1.49598318073287-π/2
    2.99196636146574-1.57079632675     		φ = 1.42117003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59077435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.848877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42117003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.427045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26606 KachelY 5744 -0.59077435 1.42117003 -33.848877 81.427045
    Oben rechts KachelX + 1 26607 KachelY 5744 -0.59067848 1.42117003 -33.843384 81.427045
    Unten links KachelX 26606 KachelY + 1 5745 -0.59077435 1.42115574 -33.848877 81.426226
    Unten rechts KachelX + 1 26607 KachelY + 1 5745 -0.59067848 1.42115574 -33.843384 81.426226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42117003-1.42115574) × R
    1.42900000001944e-05 × 6371000     		dl = 91.0415900012387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42117003-1.42115574) × R
    1.42900000001944e-05 × 6371000     		dr = 91.0415900012387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59077435--0.59067848) × cos(1.42117003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149068615126439 × 6371000     		do = 91.0492870100638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59077435--0.59067848) × cos(1.42115574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149082745446968 × 6371000     		du = 91.057917637029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42117003)-sin(1.42115574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149068615126439-0.149082745446968)×R²
    abs(-0.59067848--0.59077435)×1.41303205288823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41303205288823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41303205288823e-05×40589641000000     		ar = 8289.66473091572m²