Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26606 / 11142
↖ ↑ ↗
← N 49.795450°
E112.302246°		 ← 788.59 m → N 49.795450°
E112.313232°		 →
↑
788.60 m
↓
↑
788.60 m
↓
N 49.788358°
E112.302246°		 ← 788.71 m →
621 930 m²		 N 49.788358°
E112.313232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811965942382812 y=0.340042114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811965942382812 × 215)
    floor (0.811965942382812 × 32768)
    floor (26606.5)     		tx = 26606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340042114257812 × 215)
    floor (0.340042114257812 × 32768)
    floor (11142.5)     		ty = 11142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26606 / 11142 ti = "15/26606/11142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26606/11142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26606 ÷ 215
    26606 ÷ 32768     		x = 0.81195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11142 ÷ 215
    11142 ÷ 32768     		y = 0.34002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81195068359375 × 2 - 1) × π
    0.6239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96004395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34002685546875 × 2 - 1) × π
    0.3199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00514091123334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96004395} λ = 1.96004395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00514091123334))-π/2
    2×atan(2.73229225637272)-π/2
    2×1.21994543991714-π/2
    2.43989087983428-1.57079632675     		φ = 0.86909455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96004395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.302246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86909455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.795450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26606 KachelY 11142 1.96004395 0.86909455 112.302246 49.795450
    Oben rechts KachelX + 1 26607 KachelY 11142 1.96023570 0.86909455 112.313232 49.795450
    Unten links KachelX 26606 KachelY + 1 11143 1.96004395 0.86897077 112.302246 49.788358
    Unten rechts KachelX + 1 26607 KachelY + 1 11143 1.96023570 0.86897077 112.313232 49.788358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86909455-0.86897077) × R
    0.000123780000000018 × 6371000     		dl = 788.602380000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86909455-0.86897077) × R
    0.000123780000000018 × 6371000     		dr = 788.602380000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96004395-1.96023570) × cos(0.86909455) × R
    0.000191749999999935 × 0.645518344454283 × 6371000     		do = 788.590546180105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96004395-1.96023570) × cos(0.86897077) × R
    0.000191749999999935 × 0.645612875835976 × 6371000     		du = 788.706029426338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86909455)-sin(0.86897077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645518344454283-0.645612875835976)×R²
    abs(1.96023570-1.96004395)×9.45313816930193e-05×R²
    0.000191749999999935×9.45313816930193e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.45313816930193e-05×40589641000000     		ar = 621929.917539124m²