Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26604 / 47095
↖ ↑ ↗
← S 61.582878°
W 33.859863°		 ← 290.70 m → S 61.582878°
W 33.854370°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
S 61.585492°
W 33.859863°		 ← 290.67 m →
84 486 m²		 S 61.585492°
W 33.854370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405952453613281 y=0.718620300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405952453613281 × 216)
    floor (0.405952453613281 × 65536)
    floor (26604.5)     		tx = 26604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718620300292969 × 216)
    floor (0.718620300292969 × 65536)
    floor (47095.5)     		ty = 47095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26604 / 47095 ti = "16/26604/47095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26604/47095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26604 ÷ 216
    26604 ÷ 65536     		x = 0.40594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47095 ÷ 216
    47095 ÷ 65536     		y = 0.718612670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59096610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718612670898438 × 2 - 1) × π
    -0.437225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37358392171309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59096610} λ = -0.59096610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37358392171309))-π/2
    2×atan(0.253197890092945)-π/2
    2×0.247986169980608-π/2
    0.495972339961217-1.57079632675     		φ = -1.07482399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59096610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.859863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07482399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.582878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26604 KachelY 47095 -0.59096610 -1.07482399 -33.859863 -61.582878
    Oben rechts KachelX + 1 26605 KachelY 47095 -0.59087022 -1.07482399 -33.854370 -61.582878
    Unten links KachelX 26604 KachelY + 1 47096 -0.59096610 -1.07486961 -33.859863 -61.585492
    Unten rechts KachelX + 1 26605 KachelY + 1 47096 -0.59087022 -1.07486961 -33.854370 -61.585492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07482399--1.07486961) × R
    4.56199999998574e-05 × 6371000     		dl = 290.645019999092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07482399--1.07486961) × R
    4.56199999998574e-05 × 6371000     		dr = 290.645019999092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59096610--0.59087022) × cos(-1.07482399) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.475887052534389 × 6371000     		do = 290.696310353615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59096610--0.59087022) × cos(-1.07486961) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.475846928957086 × 6371000     		du = 290.671800807037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07482399)-sin(-1.07486961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475887052534389-0.475846928957086)×R²
    abs(-0.59087022--0.59096610)×4.01235773032638e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.01235773032638e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.01235773032638e-05×40589641000000     		ar = 84485.8731621841m²