Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26603 / 47058
↖ ↑ ↗
← S 61.486004°
W 33.865356°		 ← 291.57 m → S 61.486004°
W 33.859863°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
S 61.488627°
W 33.865356°		 ← 291.55 m →
85 020 m²		 S 61.488627°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405937194824219 y=0.718055725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405937194824219 × 216)
    floor (0.405937194824219 × 65536)
    floor (26603.5)     		tx = 26603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718055725097656 × 216)
    floor (0.718055725097656 × 65536)
    floor (47058.5)     		ty = 47058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26603 / 47058 ti = "16/26603/47058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26603/47058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26603 ÷ 216
    26603 ÷ 65536     		x = 0.405929565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47058 ÷ 216
    47058 ÷ 65536     		y = 0.718048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405929565429688 × 2 - 1) × π
    -0.188140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59106197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718048095703125 × 2 - 1) × π
    -0.43609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3700365911412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59106197} λ = -0.59106197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3700365911412))-π/2
    2×atan(0.254097661659273)-π/2
    2×0.248831551996742-π/2
    0.497663103993485-1.57079632675     		φ = -1.07313322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59106197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.865356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07313322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.486004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26603 KachelY 47058 -0.59106197 -1.07313322 -33.865356 -61.486004
    Oben rechts KachelX + 1 26604 KachelY 47058 -0.59096610 -1.07313322 -33.859863 -61.486004
    Unten links KachelX 26603 KachelY + 1 47059 -0.59106197 -1.07317899 -33.865356 -61.488627
    Unten rechts KachelX + 1 26604 KachelY + 1 47059 -0.59096610 -1.07317899 -33.859863 -61.488627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07313322--1.07317899) × R
    4.5769999999834e-05 × 6371000     		dl = 291.600669998942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07313322--1.07317899) × R
    4.5769999999834e-05 × 6371000     		dr = 291.600669998942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59106197--0.59096610) × cos(-1.07313322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477373414657431 × 6371000     		do = 291.573843395891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59106197--0.59096610) × cos(-1.07317899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477333196034123 × 6371000     		du = 291.549278352649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07313322)-sin(-1.07317899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477373414657431-0.477333196034123)×R²
    abs(-0.59096610--0.59106197)×4.02186233074975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02186233074975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02186233074975e-05×40589641000000     		ar = 85019.5465114481m²