Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26603 / 47007
↖ ↑ ↗
← S 61.351980°
W 33.865356°		 ← 292.83 m → S 61.351980°
W 33.859863°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 61.354614°
W 33.865356°		 ← 292.80 m →
85 740 m²		 S 61.354614°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405937194824219 y=0.717277526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405937194824219 × 216)
    floor (0.405937194824219 × 65536)
    floor (26603.5)     		tx = 26603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717277526855469 × 216)
    floor (0.717277526855469 × 65536)
    floor (47007.5)     		ty = 47007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26603 / 47007 ti = "16/26603/47007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26603/47007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26603 ÷ 216
    26603 ÷ 65536     		x = 0.405929565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47007 ÷ 216
    47007 ÷ 65536     		y = 0.717269897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405929565429688 × 2 - 1) × π
    -0.188140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59106197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717269897460938 × 2 - 1) × π
    -0.434539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36514702737996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59106197} λ = -0.59106197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36514702737996))-π/2
    2×atan(0.255343130796548)-π/2
    2×0.250001135538615-π/2
    0.50000227107723-1.57079632675     		φ = -1.07079406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59106197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.865356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07079406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.351980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26603 KachelY 47007 -0.59106197 -1.07079406 -33.865356 -61.351980
    Oben rechts KachelX + 1 26604 KachelY 47007 -0.59096610 -1.07079406 -33.859863 -61.351980
    Unten links KachelX 26603 KachelY + 1 47008 -0.59106197 -1.07084002 -33.865356 -61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 26604 KachelY + 1 47008 -0.59096610 -1.07084002 -33.859863 -61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07079406--1.07084002) × R
    4.59599999997895e-05 × 6371000     		dl = 292.811159998659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07079406--1.07084002) × R
    4.59599999997895e-05 × 6371000     		dr = 292.811159998659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59106197--0.59096610) × cos(-1.07079406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479427527902644 × 6371000     		do = 292.828470644262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59106197--0.59096610) × cos(-1.07084002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 292.803835038158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07079406)-sin(-1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479427527902644-0.479387193751709)×R²
    abs(-0.59096610--0.59106197)×4.0334150935073e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0334150935073e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0334150935073e-05×40589641000000     		ar = 85739.8373951077m²